На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Передающая линия

В предыдущей главе мы выяснили, что случится с сосредоточенными элементами цепи, если на них подать очень высокую частоту. Мы пришли к выводу, что резонансный контур можно заменить полостью, внутри которой поля вступают друг с другом в резонанс. Но есть и другой интересный технический вопрос: как связать между собой два предмета, чтобы можно было передать электрическую энергию от одного к другому? В цепях низкой частоты эта связь осуществляется по проводам, но этот способ на высоких частотах не очень хорош, потому что энергия рассеивается во все стороны и трудно контролировать, куда она потечет. От проводов во все стороны разбегаются поля; к тому же токи и напряжения высокой частоты не очень хорошо «проводятся» проводами. В этой главе мы и хотим разобраться в том, как можно соединять между собой предметы на большой частоте. Таков по крайней мере один подход к теме нашей лекции.
 
Но можно к ней подойти и по-другому, можно сказать, что мы пока обсуждали поведение волн в пустом пространстве, а теперь пришло время посмотреть, что случится, если колеблющиеся поля ограничить в одном или двух измерениях. Мы обнаружим новое интересное явление: если поля ограничить в двух измерениях и дать им свободу в третьем, они распространяются в виде волн. «Волны в волноводе» и будут предметом нашей лекции.
 
Начнем с разработки общей теории линии передачи. Обычная линия электропередачи, которая тянется от мачты к мачте по полям и лесам, тратит часть своей мощности на излучение, но частота здесь так мала (50—60 гц), что эти потери почти незаметны. От излучения можно избавиться, поместив провод в металлическую трубу, но это непрактично, потому что при таких токах и напряжениях в сети без больших, тяжелых и дорогих труб не обойтись. Так что в ходу обычно «открытые линии».
 
На частотах чуть повыше (порядка нескольких килогерц) излучение уже вполне заметно. Но его можно уменьшить, пользуясь «двухжильной» линией передачи, как это делается при телефонной связи на малые расстояния. Однако при дальнейшем повышении частоты излучение вскоре становится нетерпимо сильным либо за счет потерь энергии, либо из-за того, что энергия перетекает в другие контуры, где она совсем не нужна. На частоте от нескольких килогерц до нескольких тысяч мегагерц электромагнитные сигналы и электромагнитная энергия обычно передаются по коаксиальным линиям, т. е. по проводу, помещенному внутрь цилиндрического «внешнего проводника», или «защиты». Хотя дальнейшие рассуждения годятся для линии передачи из двух параллельных проводников любого сечения, речь будет идти о коаксиальном кабеле.

Маленькое изображениеВозьмем простейшую коаксиальную линию, состоящую из центрального проводника (пусть это будет тонкостенный полый цилиндр) и внешнего проводника — тоже тонкостенного цилиндра, ось которого совпадает с осью внутреннего проводника (фиг. 24.1). Для начала представим себе, как примерно ведет себя эта линия при относительно низких частотах. Мы уже кое-что говорили о поведении при низких частотах, когда утверждали, что у двух таких проводников на каждую единицу длины приходится сколько-то там индуктивности и сколько-то емкости. И действительно, поведение любой передающей линии при низких частотах можно описать, задав ее индуктивность на единицу длины Lo и ее емкость на единицу длины Со. Тогда линию можно было бы рассматривать как предельный случай фильтра LС (см. гл. 22, § 7). Можно создать такой фильтр, который будет имитировать линию, если последовательно соединить между собой маленькие элементы индуктивности L0Δx и зашунтировать их маленькими емкостями С0Δх (где Δх — элемент длины линии). Применяя к бесконечному фильтру наши прежние результаты, мы бы увидали, что вдоль линии должны распространяться электрические сигналы. Но поступим иначе и вместо этого изучим свойства линии, опираясь на дифференциальные уравнения.

Маленькое изображениеПредположим, мы наблюдаем за происходящим в двух соседних точках передающей линии, скажем, на расстояниях х и х+Δх от начала линии. Обозначим напряжение между проводниками через V(x), а ток в верхнем проводнике I(х) (фиг. 24.2). Если ток в линии меняется, то индуктивность вызовет падение напряжения  вдоль  небольшого участка линии от х до х+Δх

Маленькое изображение
 

Или, беря предел при Δх→0, получаем

Маленькое изображение
 

Изменение тока приводит к перепаду напряжения.
 
Теперь еще раз взгляните на рисунок. Если напряжение в х меняется, то должны появляться заряды, которые на этом участке передаются емкости. Если взять небольшой участок линии от х до х+Δх, то заряд на нем равен q=C0ΔxV. Скорость изменения этого заряда равна C0ΔxdV/dt, но заряд меняется только тогда, когда ток I(х), входящий в элемент, отличается от выходящего тока I(х+Δх). Обозначая разность через Δ/, имеем

Маленькое изображение
 

Если перейти к пределу при Δх→0, получается

Маленькое изображение
 

Так что сохранение заряда предполагает, что градиент тока пропорционален скорости изменения напряжения во времени. Уравнения (24.1) и (24.2) — это основные уравнения линии передачи. При желании их можно видоизменить так, чтобы они учитывали сопротивление проводников или утечку зарядов через изоляцию между проводниками, но пока нам достаточно самого простого примера.
 
Оба уравнения передающей линии можно объединить, продифференцировав первое по t, а второе по x; и исключив V или /. Получится либо

Маленькое изображение
 

Мы снова узнаем волновое уравнение по х. В однородной передающей линии напряжение (и ток) распространяется вдоль линии как волна. Напряжение вдоль линии будет следовать закону V(x, t)=f(xvt) или V(x, t)=g(x+vt) или их сумме. А что такое здесь v? Мы знаем, что коэффициент при 2/∂t2 — это просто 1/v2, так что

Маленькое изображение
 

Покажите самостоятельно, что напряжение для каждой волны в линии пропорционально току этой волны и что коэффициент пропорциональности — это просто характеристический импеданс z0. Обозначив через V+ и /+ напряжение и ток для волны, бегущей в направлении +х, вы должны будете получить

Маленькое изображение
 

Равным образом, для волны, бегущей в направлении —х, получится

Маленькое изображение
 

Характеристический импеданс, как мы уже видели из наших уравнений для фильтра, дается выражением

Маленькое изображение
 

и поэтому есть чистое сопротивление.
 
Чтобы найти скорость распространения v и характеристический импеданс z0 передающей линии, нужно знать индуктивность и емкость единицы длины линии. Для коаксиального кабеля их легко подсчитать. Поглядим, как это делается. При расчете индуктивности мы будем следовать идеям, изложенным в гл. 17, § 8, и положим 1/2 LI2 равным магнитной энергии, в свою очередь получаемой интегрированием εос2B2/2 по объему. Пусть по внутреннему проводнику течет ток /; тогда мы знаем, что В=I/2πε0с2r, где r— расстояние от оси. Беря в качестве элемента  объема цилиндрический слой толщины dr и длины  I, получаем для магнитной энергии

Маленькое изображение
 

где а  и  b — радиусы внутреннего  и внешнего  проводников. Интегрируя, получаем

Маленькое изображение
 

Приравниваем  эту энергию к 1/2 LI2 и находим

Маленькое изображение
 

Как и следовало ожидать, L пропорционально длине I линии, поэтому L0(индуктивность на единицу длины) равна

Маленькое изображение
 

Мы уже рассчитывали заряд на цилиндрическом конденсаторе [гл. 12, § 2 (вып. 5)]. Деля теперь этот заряд на разность потенциалов,  получаем

Маленькое изображение
 

Емкость же на единицу длины Со— это С/I. Сопоставляя этот результат с (24.10), мы убеждаемся, что произведение L0C0 равно просто 1/с2, т. е. v=1/√L0C0 равно с. Волна бежит по линии со скоростью света. Нужно подчеркнуть, что этот результат зависит от сделанных предположений: а) что в промежутке между проводниками нет ни диэлектриков, ни магнитных материалов; б) что все токи текут только по поверхности проводников (как это бывает в идеальных проводниках). Позже мы увидим, что на высоких частотах все токи распределяются на поверхности хороших проводников, словно они идеальные проводники, так что это предположение правильно.
 
Любопытно, что в этих двух предположениях произведение L0C0 равно 1/с2 для любой параллельной пары проводников, даже в том случае, если, скажем, внутренний шестигранный проводник тянется как-то вдоль эллиптического внешнего. Пока сечение постоянно и между проводниками нет ничего, волны распространяются со скоростью света.
 
Подобных общих утверждений по поводу характеристического импеданса сделать нельзя. Для коаксиальной линии он равен

Маленькое изображение
 

Множитель 1/εос имеет размерность сопротивления и равен 120π ом. Геометрический фактор In (b/a) только логарифмически зависит от размеров, так что коаксиальная линия (и большинство других линий), как правило, обладает характеристическим импедансом порядка 50 ом или что-то около этого, до нескольких сот ом.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.