На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Потенциалы движущегося заряда. Общее решение Льенара и Вихерта

В предыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вычислении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы заново предпримем расчет потенциалов точечного заряда, движущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской скоростью). Как только мы получим этот результат, у нас в руках окажутся электромагнитные свойства электрических зарядов во всей их полноте. Даже формулу (21.1′) можно будет тогда легко получить, взяв только нужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, запаситесь терпением!
 
Попробуем подсчитать в точке (x1, у1, z1) скалярный потенциал φ(1), создаваемый точечным зарядом (вроде электрона), движущимся любым, каким угодно образом. Под «точечным» зарядом подразумевается очень маленький заряженный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда ρ(х, у, z). Потенциал φ можно найти из (21.15):

Маленькое изображение
 

На первый взгляд кажется (и почти все так и подумают), что ответ состоит в том, что интеграл от ρ по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду q, т. е. что

Маленькое изображение
 

Через r′12 здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (1), измеренный в более раннее время (t—r12/с). Эта формула ошибочна.
 
Правильный ответ такой:

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениегде vr — компонента скорости заряда, параллельная r12, т. е. направленная к точке (1). Сейчас я объясню, почему это так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (1) со скоростью v (фиг. 21.5). Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше r12 [расстояния от центра заряда до точки (1)].
 
Чтобы оценить величину интеграла (21.28), мы вернемся к основному определению: запишем его в виде суммы

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениегде r¡ — расстояние от точки (1) к ¡-му элементу объема ΔV¡, а ρ¡— плотность заряда в ΔV¡ в момент t¡= (tr¡/c). Поскольку все r¡»а, удобно будет выбрать все ΔV¡ в виде тонких прямоугольных ломтиков, перпендикулярных к r12 (фиг. 21.6).
 
Предположим, что мы начали с того, что взяли элементы объема ΔV¡ некоторой толщины w, много меньшей а.

Маленькое изображениеОтдельные элементы объема будут выглядеть так, как показано на фиг. 21.7, а. Их нарисовано гораздо больше, чем нужно, чтобы закрыть весь заряд. А сам заряд не показан, и по весьма существенной причине. Где его нужно нарисовать? Ведь для каждого элемента объема ΔV¡ надо брать ρ в свой момент t¡=(tr¡ /c). Но раз заряд движется, то для каждого элемента объема ΔV¡ он окажется в другом месте!
 
Начнем, скажем, с элемента объема 1 на фиг. 21.7, а, выбранного так, чтобы в  момент    t1= (t r1/c) «задняя» грань заряда пришлась на ΔV¡ (фиг. 21.7, б). Тогда, вычисляя ρ2ΔV2, нужно взять положение заряда в несколько более позднее время t2=(t r2/c) и заряд к этому времени сместится в положение, показанное на фиг. 21.7, в. Так же будет с ΔV3, ΔV4 и т. д. Вот теперь можно подсчитывать сумму.
 
Толщина каждого ΔV¡ равна w, а объем wa2. Поэтому каждый элемент объема, накладывающийся на распределение ряда, содержит в себе заряд wa2ρ, где ρ — плотность заряда внутри куба (мы считаем ее однородной). Когда расстояние от заряда до точки (1) велико, то мощно все r¡ в знаменателях положить равными некоторому среднему значению, скажем, взятому с учетом запаздывания положению r′ центра куба. Сумма (21.30) превращается в

Маленькое изображение
 

где ΔVN,—тот последний элемент ΔV¡, который еще накладывается на распределение зарядов (см. фиг. 21.7, д). Сумма тем самым равна

Маленькое изображение
 

Но ρа3 — просто общий заряд q, a Nw—длина b, показанная на фиг. 21.7, ∂. Получается

Маленькое изображение
 

А чему же равно b? Это длина куба зарядов, увеличенная на расстояние, пройденное зарядом за время от t1 = (tr1 /c)
до tN=(trN/c). Это расстояние, пройденное зарядом за время

Маленькое изображение
 

А поскольку скорость заряда равна v, то пройденное расстояние равно vΔt = vb/c. Но длина b — само это расстояние плюс а:

Маленькое изображение
 

Отсюда

Маленькое изображение
 

Здесь, конечно, под v подразумевается скорость в «запаздывающий» момент t′ = (tr′/с); это можно указать, записав [1 — v/c]3an; тогда уравнение (21.23) для потенциала принимает вид

Маленькое изображение
 

Это согласуется с тем, что было предположено в (21.29). Появился поправочный множитель. Он появился потому, что в то время, как наш интеграл «проносится над зарядом», сам заряд движется. Когда заряд движется к точке (1), его вклад в интеграл увеличивается в b/а раз. Поэтому правильное значение интеграла равно q/r′, умноженному на b/а,т. е. на 1/[1—v/c]зaп.
 
Если скорость заряда направлена не к точке наблюдения (1), то легко видеть, что важна только составляющая его скорости в направлении к точке (1). Если обозначить эту составляющую скорости через vr , то поправочный множитель запишется в виде 1/[1—vr/с]зап. Кроме того, проделанный нами анализ в равной степени проходит для распределения заряда любой формы (это не обязательно должен быть куб). Наконец, поскольку «размер» а заряда не вошел в окончательный итог, то тот же результат получится, если заряд стянется до любых размеров, вплоть до точки. Общий результат состоит в том, что скалярный потенциал точечного заряда, движущегося с произвольной скоростью, равен

Маленькое изображение
 

Это уравнение часто пишут в эквивалентном виде:

Маленькое изображение
 

где r — вектор, соединяющий заряд с той точкой (1), в которой вычисляется потенциал φ, а все величины в скобках надо вычислять в «запаздывающий» момент времени t′=(tr′/с).
 
То же самое получается и тогда, когда по (21.16) вычисляют А для точечного заряда. Плотность тока равна ρv, а интеграл от ρ — тот же, что и в φ. Векторный потенциал равен

Маленькое изображение
 

Потенциалы точечного заряда в этой форме были впервые получены Льенаром и Вихертом. Их так и называют: потенциалы Льенара Вихерта.
 
Чтобы замкнуть круг и вернуться к формуле (21.1), теперь нужно только подсчитать Е и В из этих потенциалов (при помощи B=vxA и Е=—vф—∂A/∂t). Теперь остается одна арифметика. Впрочем, арифметика эта довольно запутанна, так что мы не будем приводить здесь детали счета. Придется поверить мне на слово, что формула (21.1) эквивалентна выведенным нами потенциалам Льенара — Вихерта.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.