На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение

Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.
 
Начнем с V·В=0 — простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что В — есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали

Маленькое изображение
 

то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора А′, если A′=A+ vψ), где ψ — любое скалярное поле, потому что ротор vψ — нуль и В — по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)
 
Теперь разберем закон Фарадея VxE= –∂B/∂t, потому что он не содержит никаких токов или зарядов. Если мы запишем В как V X А и продифференцируем по t, то сможем переписать закон Фарадея в форме

Маленькое изображение
 

Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде

Маленькое изображение
 

Мы видим, что E+∂A/t — это вектор, ротор которого ранен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было VxE=0, и мы тогда решили, что Е — само градиент чего-то. Пусть это градиент от –φ (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для E+∂A/t; мы полагаем

Маленькое изображение
 

Мы используем то же обозначение φ, так что в электростатическом случае, когда ничто не меняется со временем и ∂A/∂t исчезает, Е будет нашим старым –vφ. Итак, закон Фарадея можно представить в форме

Маленькое изображение
 

Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей Е и В нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал φ и векторный потенциал А, который, разумеется, представляет три функции.
 
Итак, А определяет часть Е, так же как и В. Что же произойдет, когда мы заменим А на A′=A+vψ? В общем, Е должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что А изменяется так, чтобы не влиять на поля Е и В (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять А и φ вместе по правилам

Маленькое изображение
 

Тогда ни В, ни Е, полученные из уравнения (18.19), не меняются.
 
Раньше мы выбирали V ·А=0, чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно,  почему вообще делается выбор.
 
Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники ρ и j. Раз мы можем определить А и φ из токов и зарядов, то можно всегда получить Е и В из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.
 
Начнем с подстановки уравнения (18.19) в v·E=ρ/ε0; получаем

Маленькое изображение
 

это можно записать еще в виде

Маленькое изображение
 

Таково первое уравнение, связывающее φ и А с источниками.
 
Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:

Маленькое изображение
 

а затем выразим В и Е через  потенциалы,  используя уравнения (18.16) и (18.19):

Маленькое изображение
 

Первый член можно переписать, используя  алгебраическое тождество v x (vxA) = V (V·A) – v2A; мы получаем

Маленькое изображение
 

Не очень-то оно простое!
 
К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции А. Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для А и для φ разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая                           ,

Маленькое изображение
 

Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются,  и  оно становится много  проще:

Маленькое изображение
 

И наше уравнение (18.21) для φ принимает такую же форму:

Маленькое изображение
 

Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились — с плотностью заряда стоит φ, а с током стоит А. Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо — лапласиан вместе с (∂/∂t)2, когда мы раскроем ее, то обнаружим

Маленькое изображение
 

Это уравнение имеет приятную симметрию по х, у, z, t; здесь (–1/с2) нужно, конечно, потому, что время и координаты различаются; у них разные единицы.
 
Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов φ и А, но с одной и той же математической формой для всех четырех функций φ, Ах, Ау и Az. Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить В и Е из vXE и —vφ —∂A/∂t. Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще.
Фактически мы уже решали уравнение, весьма похожее на (18.26). Когда мы изучали звук в гл. 47 (вып. 4), мы имели уравнение в форме

Маленькое изображение
 

и видели, что оно описывает распространение волн в x-направлении со скоростью с. Уравнение (18.26) это соответствующее волновое уравнение для трех измерений. Поэтому в области, где больше нет зарядов и токов, решение этих уравнений не означает, что φ и А — нули. (Хотя на самом деле нулевое решение есть одно из возможных решений.) Имеются решения, представляющие некоторую совокупность φ и А, которые меняются со временем, но всегда движутся со скоростью с. Поля передвигаются вперед через свободное пространство, как в нашем примере  в  начале главы.
 
С новым членом, добавленным Максвеллом в уравнение IV, мы смогли записать полевые уравнения в терминах А и φ в форме, которая проста и сразу же позволяет выявить существование электромагнитных волн. Для многих практических целей еще будет удобно использовать первоначальные уравнения в терминах E и В. Но они — по ту сторону горы, на которую мы уже вскарабкались. Теперь мы можем посмотреть вокруг. Все будет выглядеть иначе — нас ожидают новые, прекрасные пейзажи.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.