На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Ссылки
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Векторная алгебра

Теперь мы должны описать законы, или правила, регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой-нибудь системе координат составляющими ах, ay, az и bx, by, bz. Предположим, что кому-то пришло в голову составить три числа ах + bx, ay + by, az + bz. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа ах + bx, ay + by, az + bz, если известно, что при изменении системы координат числа ах, ay, az переходят в ах`, ay`, az`, a bx, by, bz переходят в bx`, by`, bz`. Получим ли мы после поворота координатных осей числа ах` + bx`, ay` + by`, az` + bz`? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11.5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к ах + bx и вычислим ах` + bx`, то окажется, что преобразованное ах + bx есть то же самое, что и ах` + bx`. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор с. Мы запишем это так:
с = а + b.

Вектор с обладает интересным свойством:
c = b+ a;
это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,
а +(b+ с) = (а +b) + с.
Векторы можно складывать в любом порядке.

Маленькое изображениеКаков геометрический смысл а + b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и b с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4. Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора Ь, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а на «голову» Ь. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили вектор а на число α. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами αах, αау, αаz. Докажите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором — Ь = (—1)Ь. Результат будет тот же.

Маленькое изображениеВычитание векторов показано на фиг. 11.5. На этом чертеже изображено d = а—b = а + (—Ь); заметим также, что, зная векторы а и Ь, разность а—Ь можно легко найти из эквивалентного соотношения а = b + d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а—Ь!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, г/, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx`/dt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:
v = dr/dt.

Маленькое изображениеПостараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время Δt? Ответ: на Δr, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору Δr=r2—r1? расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени Δt = t2—t1, то мы получим вектор «средней скорости».

Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t + Δt и t, деленной на Δt при Δt, стремящемся к нулю:

Маленькое изображение
 

Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продифференцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.




Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.