На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Векторный потенциал

В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:

Маленькое изображение
 

На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом, а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал φ дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием φ. Мы покажем сейчас, что для нахождения поля В существует аналогичная процедура, если известна плотность тока j всех движущихся зарядов.
 
В электростатике, как мы видели (из-за того, что rot от Е везде равен нулю), всегда можно представить Е в виде градиента от скалярного поля φ. А вот rot от В не везде равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция В везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить В в виде ротора от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить В через поле, которое мы обозначим А:

Маленькое изображение
 

Или, расписывая компоненты:

Маленькое изображение
 

Запись В=vхА гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно

Маленькое изображение
 

Поле А называется векторным потенциалом.
 
Вспомним, что скалярный потенциал φ оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал φ, то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал φ′, добавив постоянную:

Маленькое изображение
 

Новый потенциал φ′ дает те же электрические поля, потому что градиент vС есть нуль; φ′ и φ отвечают одной и той же картине.
 
Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов А, приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку В получается из А дифференцированием, то прибавление к А константы не меняет физики дела. Но для А свобода больше. Мы можем добавить к А любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть А, которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле В. Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал А′, будучи подставлен в (14.3), дает то же самое поле В. Значит, А и А′ имеют одинаковый ротор

Маленькое изображение
 

Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем ψ, так что А′—A=vψ. Это означает, что если А есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом ψ

Маленькое изображение
 

также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю В.
 
Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» А, накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным — довольно часто — выбирать потенциал φ равным нулю на больших расстояниях). Мы можем, например, ограничить А, наложив на него такое условие, чтобы дивергенция А чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая В. Так получается потому, что, хотя А′ и А имеют одинаковый ротор и дают одно и то же В, они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, v·A` = v·A+ v2ψ, и, подбирая соответствующее ψ, можно придать v·A′ любое значение.
 
Чему следует приравнять v·А? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатики мы сделаем простой выбор

Маленькое изображение
 

(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение А в данный момент есть vхА = В и v·А = 0.
 
Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля В0. Выбирая ось z в направлении В0, мы должны иметь

Маленькое изображение
 

Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть

Маленькое изображение
 

Или с тем же успехом можно взять

Маленькое изображение
 

Еще одно решение есть комбинация первых двух

Маленькое изображение
 

Ясно, что для каждого поля В векторный потенциал А не единственный; существует много возможностей.
 
Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интересных свойств. Поскольку х-компонента пропорциональна –у, а y-компонента пропорциональна +х, то вектор А должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси z, который мы обозначим r′ (штрих означает, что это не вектор расстояния от начала). Кроме того, величина А пропорциональна √x2+ y2 и, следовательно, пропорциональна r`. Поэтому А (для однородного поля) может быть записано просто

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеВекторный потенциал А равен по величине Вr′/2 и вращается вокруг оси z, как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле В есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде.
 
Векторный потенциал однородного поля может быть получен и другим способом. Циркуляция А вдоль любой замкнутой петли Г может быть выражена через поверхностный интеграл от vХА с помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]

Маленькое изображение
 

Но интеграл  справа равен потоку В сквозь петлю,  поэтому

Маленькое изображение
 

Итак, циркуляция А вдоль всякой петли равна потоку В сквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса r′ в плоскости, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в  точности  равен

Маленькое изображение
 

Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что А можно считать направленным по касательной и функцией только  от  r′,  то циркуляция будет  равна

Маленькое изображение
 

Как и раньше,  получаем

Маленькое изображение
 В только что разобранном примере мы вычисляем векторный потенциал из магнитного поля, обычно поступают наоборот. В сложных задачах всегда проще найти векторный потенциал, а затем уже из него найти магнитное поле. Сейчас мы покажем, как это можно сделать.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.