Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 5 >> Глава 13. Магнитостатика

Относительность магнитных и электрических полей

Когда мы сказали, что магнитная сила на заряд пропорциональна его скорости, вы, наверное, подумали: «Какой скорости? По отношению к какой системе отсчета?» Из определения В, данного в начале этой главы, на самом деле ясно, что этот вектор будет разным в зависимости от выбора системы отсчета, в которой мы определяем скорость зарядов. Но мы ничего не сказали о том, какая же система подходит для определения магнитного поля.
 
Оказывается, что годится любая инерциальная система. Мы увидим также, что магнетизм и электричество — не независимые вещи, они всегда должны быть взяты в совокупности как одно полное электромагнитное поле. Хотя в статическом случае уравнения Максвелла разделяются на две отдельные пары: одна пара для электричества и одна для магнетизма, без видимой связи между обоими полями, тем не менее в самой природе существует очень глубокая взаимосвязь между Иими, возникающая из принципа относительности. Исторически принцип относительности был открыт после уравнений Максвелла. В действительности же именно изучение электричества и магнетизма привело Эйнштейна к открытию принципа относительности. Но посмотрим, что наше знание принципа относительности подскажет нам о магнитных силах, если предположить, что принцип относительности применим (а в действительности так оно и есть) к электромагнетизму.
 
Давайте подумаем, что произойдет с отрицательным зарядом, движущимся со скоростью v₀ параллельно проволоке, покоторой течет ток (фиг. 13.10). Постараемся разобраться в происходящем, используя две системы отсчета: одну, связанную с проволокой, как на фиг. 13.10, а, а другую — с частицей, как на фиг. 13.10, б. Мы будем называть первую систему отсчета S,   а  вторую S`.
 
В системе S на частицу явно действует магнитная сила. Сила направлена к проволоке, поэтому, если заряду ничего не мешает, его траектория загнется в сторону проволоки. Но в системе S` магнитной силы на частицу быть не может, потому что скорость частицы равна нулю. Что же, следовательно, она так и будет стоять на месте? Увидим ли мы в разных системах разные вещи? Принцип относительности утверждает, что в системе S` мы увидели бы тоже, как частица приближается к проволоке. Мы должны попытаться понять, почему такое могло бы   произойти.

Вернемся к нашему атомному описанию проволоки, по которой идет ток. В обычном проводнике, вроде меди, электрические токи возникают за счет движения части отрицательных электронов (называемых электронами проводимости), тогда как положительные ядерные заряды и остальные электроны остаются закрепленными внутри материала. Пусть плотность электронов проводимости есть р_, а их скорость в системе S есть v. Плотность неподвижных зарядов в системе S есть р ₊ , что должно быть равно р_ с обратным знаком, потому что мы берем незаряженную проволоку. Поэтому вне проволоки электрического поля нет, и сила на движущуюся частицу равна просто

Используя результат, найденный нами в уравнении (13.18) для магнитного поля на расстоянии r от оси проволоки, мы заключаем, что сила, действующая на частицу, направлена к проволоке и равна по величине

С помощью уравнений (13.4) и (13.5) ток / может быть записан как p₊vA, где А — площадь поперечного сечения проволоки. Тогда

Мы могли бы продолжить рассмотрение общего случая произвольных скоростей v и v₀, но ничуть не хуже будет взять частный случай, когда скорость v₀ частицы совпадает со скоростью v электронов проводимости. Поэтому мы запишем v=v₀, и уравнение (13.20) приобретет вид

Теперь обратимся к тому, что происходит в системе S`, где частица покоится и проволока бежит мимо нее (влево на фиг. 13.10, б) со скоростью v. Положительные заряды, движущиеся вместе с проволокой, создадут около частицы некоторое магнитное поле В`. Но частица теперь покоится, так что магнитная сила на нее не действует! Если и возникает какая-то сила, то она должна появиться за счет электрического поля. Выходит, что движущаяся проволока создает электрическое поле. Но она может это сделать, только если она кажется заряженной; должно получаться так, чтобы нейтральная проволока с током казалась заряженной, если ее привести в движение.
 
Нужно в этом разобраться. Попробуем вычислить плотность зарядов в проволоке в системе S`, пользуясь тем, что мы знаем о ней в системе S. На первый взгляд можно было бы подумать, что плотности одинаковы, но из гл. 15 (вып. 2) мы знаем, что при переходе от одной системы к другой длины меняются, следовательно, объемы также изменятся. Поскольку плотности зарядов зависят от объема, занимаемого зарядами, плотности будут также меняться.
 
Прежде чем определить плотности зарядов в системе S`, нужно знать, что происходит с электрическим зарядом группы электронов, когда заряды движутся. Мы знаем, что кажущаяся масса частицы приобретает множитель 1/√1–v²/c². Происходит ли что-нибудь подобное с ее зарядом? Нет! Заряды никогда не меняются независимо от того, движутся ли они или нет. Иначе мы не могли бы наблюдать на опыте сохранение полного заряда.
 
Возьмем кусок вещества, например проводника, и пусть он вначале незаряжен. Теперь нагреем его. Поскольку масса электронов иная, чем у протонов, скорости электронов и протонов изменятся по-разному. Если бы заряд частицы зависел от скорости частицы, которая его переносит, то в нагретом куске заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы. Кусок материала при нагревании становился бы заряженным.
 
Мы видели раньше, что очень малое изменение заряда у каждого из электронов в куске привело бы к огромным электрическим полям. Ничего подобного никогда не наблюдалось.
 
Кроме того, можно заметить, что средняя скорость электронов в веществе зависит от его химического состава. Если бы заряд электрона менялся со скоростью, суммарный заряд в куске вещества изменялся бы в ходе химической реакции. Как и раньше, прямое вычисление показывает, что даже совсем малая зависимость заряда от скорости привела бы в простейших химических реакциях к огромным полям. Ничего похожего не наблюдалось, и мы приходим к выводу, что электрический заряд отдельной частицы не зависит от состояния движения или покоя.
 
Итак, заряд частицы q есть инвариантная скалярная величина, не зависящая от системы отсчета. Это означает, что в любой системе плотность зарядов у некоторого распределения электронов просто пропорциональна числу электронов в единице объема. Нам нужно только учесть тот факт, что объем может меняться из-за релятивистского сокращения расстояний.
 
Применим теперь эти идеи к нашей движущейся проволоке. Если взять проволоку длиной L₀, в которой плотность неподвижных зарядов есть ρ₀, то в ней будет содержаться полный заряд Q=ρ₀L₀A₀. Если те же заряды движутся в другой системе со скоростью v, то они все будут находиться в куске материала меньшей  длины

но того же сечения А_о, поскольку размеры в направлении, перпендикулярном  движению,   не  меняются (фиг. 13.11).
 
Если через ρ обозначить плотность зарядов в системе, где они движутся, то полный заряд Q будет ρLA₀, Но это должно быть также равно ρ_оL₀A, потому что заряд в любой системе одинаков, следовательно,  ρL=ρ₀L₀,   или с помощью (13.22)

Плотность зарядов движущейся совокупности зарядов меняется таким же образом, как и релятивистская масса частицы.
 
Применим теперь этот результат к плотности положительных зарядов р₊ в нашей проволоке. Эти заряды покоятся в системе S. Однако в системе S`, где проволока движется со скоростью v,  плотность  положительных зарядов  становится  равной

Отрицательные заряды в системе S′ покоятся, поэтому их плотность в этой системе есть «плотность покоя» ρ₀. В уравнении (13.23) ρ_о=ρ′_, потому что их плотность зарядов равна ρ_, если проволока покоится, т. е. в системе S, где скорость отрицательных зарядов равна v. Тогда для электронов проводимости мы получаем

Теперь мы можем понять, почему в системе S′ возникают электрические поля: потому что в этой системе в проволоке имеется результирующая плотность зарядов ρ′, даваемая формулой

помощью (13.24) и (13.26) имеем

Поскольку покоящаяся проволока нейтральна, р_ = —р₊ , получаем

Наша движущаяся проволока заряжена положительно и должна создавать поле Е′ в точке, где находится внешняя покоящаяся частица. Мы уже решали электростатическую задачу об однородно заряженном цилиндре. Электрическое поле на расстоянии r от оси цилиндра есть

Сила, действующая на отрицательно заряженную частицу, направлена к проволоке. Мы имеем силу, направленную одинаково в обеих системах; электрическая сила в системе S′ направлена так же, как магнитная сила в системе S. Величина силы в системе S′ равна

Сравнивая этот результат для F′ с нашим результатом для F в уравнении (13.21), мы видим, что величины сил с точки зрения двух наблюдателей почти одинаковы. Точнее,

поэтому для малых скоростей, которые мы рассматриваем, обе силы одинаковы. Мы можем сказать, что по меньшей мере для малых скоростей магнетизм и электричество суть просто «две разные стороны одной и той же вещи».
 
Но оказывается, что все обстоит даже еще лучше, чем мы сказали. Если принять во внимание тот факт, что силы также преобразуются при переходе от одной системы к другой, то окажется, что оба способа наблюдения за происходящим дают на самом деле одинаковые физические результаты при любой скорости.
 
Чтобы это увидеть, можно, например, задать вопрос: какой поперечный импульс приобретет частица, на которую в течение некоторого времени действовала сила? Мы знаем из вып. 2, гл. 16, что поперечный импульс частицы должен быть один и тот же как в системе S, так ив системе S′. Обозначим поперечную координату у и сравним Δр_у и Δр′_у . Используя релятивистски правильное уравнение движения F=dp/dt, мы ожидаем, что за время Δt наша частица приобретет поперечный импульс Δр_у в системе S, даваемый выражением

В системе S′ поперечный импульс будет равен

Мы должны сравнивать Δр_у и Δр′_у конечно, для соответствующих интервалов времени Δt и Δt′. В гл. 15 (вып. 2) мы видели, что интервалы времени, относящиеся к движущейся частице, кажутся длиннее интервалов в системе покоя частицы. Поскольку наша частица первоначально была в покое в системе S′, то мы ожидаем, что для малых Δt

и все получается великолепно. Согласно (13.31) и (13.32),

и если скомбинировать (13.30) и (13.33), то это отношение равно единице.
 
Вот и выходит, что мы получаем один и тот же результат, независимо от того, анализируем ли мы движение летящей рядом с проволокой частицы в системе покоя проволоки или в системе покоя частицы. В первом случае сила была чисто «магнитной», во втором — чисто «электрической». Оба способа наблюдения показаны на фиг. 13.12 (хотя во второй системе еще есть и магнитное поле В′, оно не воздействует на неподвижную частицу).
 
Если бы мы выбрали еще одну систему координат, мы бы нашли некую другую смесь полей Е и В. Электрические и магнитные силы составляют части одного физического явления— электромагнитного взаимодействия частиц. Разделение этого взаимодействия на электрическую и магнитную части в большой степени зависит от системы отсчета, в которой мы описываем взаимодействие. Но полное электромагнитное описание инвариантно; электричество и магнетизм, вместе взятые, согласуются с принципом относительности, открытым Эйнштейном.
 
Раз электрические и магнитные поля появляются в разных соотношениях при изменении системы отсчета, мы должны проявлять осторожность в обращении с полями Е и В. Если, например, мы говорим о «линиях» Е или В, то не нужно преувеличивать реальность их существования. Линии могут исчезнуть, если мы захотим увидеть их в другой системе координат. Например, в системе S′ имеются линии электрического поля, однако мы не видим их «движущимися мимо нас со скоростью v в системе S». В системе S линий электрического поля нет вообще! Поэтому бессмысленно говорить что-нибудь вроде: «Когда я двигаю магнит, он несет свое поле с собой, поэтому линии поля В тоже движутся». Нет никакого способа сделать вообще осмысленным понятие о «скорости движущихся линий поля».
 
Поля суть способ описания того, что происходит в некоторой точке пространства. В частности, Е и В говорят нам о силах, которые будут действовать на движущуюся частицу. Вопрос «чему равна сила, действующая на заряд со стороны движущегося магнитного поля?» не имеет сколько-нибудь точного содержания. Сила дается величинами Е и В в точке заряда, и формула (13.1) не изменится, если источник полей Е или В движется (изменятся в результате движения как раз значения Е и В). Наше математическое описание относится только к полям как функциям х, у, z и t, взятым в некоторой инерциалъной системе отсчета.
 
Позднее мы будем говорить о «волне электрического и магнитного полей, распространяющейся в пространстве», например о световой волне. Но это все равно, что говорить о волне, бегущей по веревке. Мы при этом не имеем в виду, что какая-нибудь часть веревки движется в направлении волны, а подразумеваем, что смещение веревки появляется сначала в одном месте, а затем в другом. Аналогично для электромагнитной волны — сама волна распространяется, а величина полей изменяется.
 
Так что в будущем, когда мы — или кто-нибудь еще — будем говорить о «движущемся» поле, вы должны понимать, что речь идет просто о коротком и удобном способе описания изменяющегося поля в определенных условиях.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: