На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Дополнительно
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Безвихревое течение жидкости. Обтекание шара

Рассмотрим теперь пример, по существу, не такой уж хороший, потому что уравнения, которые мы будем использовать, на самом деле не описывают новый объект полностью, а отвечают лишь некоторым идеализированным условиям. Это задача о течении воды. Когда мы разбирали случай натянутой пленки, то наши уравнения представляли приближение, справедливое лишь для малых отклонений. При рассмотрении течения воды мы прибегнем к приближению другого рода; мы должны принять ограничения, которые, вообще говоря, к обычной воде неприменимы. Мы разберем только случай постоянного течения несжимаемой, невязкой, лишенной завихрений жидкости. Потом мы опишем течение, задав ему скорость v(r) как функцию положения r. Если движение постоянно (единственный случай, для которого имеется электростатическая аналогия), v не зависит от времени. Если ρ — плотность жидкости, то ρv — масса жидкости, проходящая в единицу времени через единичную площадку. Из закона сохранения вещества дивергенция ρv, вообще говоря, равна изменению со временем массы вещества в единице объема. Мы предположим, что процессы непрерывного рождения или уничтожения вещества отсутствуют. Сохранение вещества требует тогда, чтобы v·ρv=0. (В правой части должно было бы стоять, вообще говоря, –∂ρ/∂t, но поскольку наша жидкость несжимаема, то ρ меняться не может.) Так как ρ повсюду одинаково, то его можно вынести, и наше уравнение запишется просто

Маленькое изображение
 

Чудесно! Снова получилась электростатика (без зарядов); уравнение совсем похоже на v·E=0. Ну не совсехм! В электростатике не просто v·E=0. Есть два уравнения. Одно уравнение еще не дает нам всего; нужно дополнительное уравнение. Чтобы получилось совпадение с электростатикой, у вас rot от v должен был бы равняться нулю. Но для настоящих жидкостей это вообще не так. В большинстве их обычно возникают вихри. Следовательно, мы ограничиваемся случаем, когда циркуляция жидкости отсутствует. Такое течение часто называют безвихревым. Как бы то ни было, принимая наши предположения, можно представить себе течение жидкости, аналогичное  электростатике.  Итак,  мы  берем

Маленькое изображение
 

Мы хотим подчеркнуть, что условия, при которых течение жидкости подчиняется этим уравнениям, встречаются весьма нечасто, но все-таки бывают. Это должны быть случаи, когда поверхностным натяжением, сжимаемостью и вязкостью можно пренебречь и когда течение можно считать безвихревым. Эти условия выполняются столь редко для обычной воды, что математик Джон фон Нейман сказал по поводу тех, кто анализирует уравнения (12.28) и (12.29), что они изучают «сухую воду»! (Мы возвратимся к задаче о течении жидкости более подробно в  вып. 7, гл. 40 и 41.)
 
Поскольку vXv=0, то скорость «сухой воды» можно написать в виде градиента от некоторого потенциала

Маленькое изображение
 

Каков физический смысл ψ? Особо полезного смысла нет. Скорость можно записать в виде градиента потенциала просто потому, что течение безвихревое. По аналогии с электростатикой ψ называется потенциалом скоростей, но он не связан с потенциальной энергией так, как это получается для φ. Поскольку дивергенция v  равна  нулю,  то

Маленькое изображение
 

Потенциал скоростей ψ подчиняется тому же дифференциальному уравнению, что и электростатический потенциал в пустом пространстве (ρ=0).
 
Давайте выберем какую-нибудь задачу о безвихревом течении и посмотрим, сможем ли мы решить ее изученными методами. Рассмотрим задачу о шаре, падающем в жидкости. Если он движется слишком медленно, то силы вязкости, которыми мы пренебрегали, будут существенны. Если он движется слишком быстро, то следом за ним будут идти маленькие вихри (турбулентность) и возникнет некоторая циркуляция воды. Но если шар движется и не чересчур быстро, и не чересчур медленно, то течение воды будет более или менее отвечать нашим предположениям, и мы сможем описать движение воды нашими простыми уравнениями.

Маленькое изображениеУдобно описывать процесс в системе координат, скрепленной с шаром. В этой системе координат мы задаем вопрос: как течет вода около неподвижного шара, если на больших расстояниях течение однородно? Иначе говоря, если вдали от шара течение всюду одинаково? Течение вблизи шара будет иметь вид, показанный линиями потока на фиг. 12.8. Эти линии, всегда параллельные v, соответствуют линиям напряженностей электрического поля. Мы хотим получить количественное описание поля скоростей т. е. выражение для скорости в любой точке Р.
 
Можно найти скорость как градиент от ψ, поэтому сначала определим потенциал. Мы хотим найти потенциал, который удовлетворял бы всюду (12.31) при следующих двух условиях: 1) течение отсутствует в сферической области за поверхностью шара; 2) течение постоянно на больших расстояниях. Чтобы выполнялось первое ограничение, компонента v, перпендикулярная поверхности шара, должна обращаться в нуль. Это значит, что дψ/дr=0 при r=а. Для выполнения второго ограничения нужно иметь дψ/дz =v0 всюду, где r»а. Строго говоря, нет ни одной электростатической задачи, которая в точности соответствовала бы нашей задаче. Она фактически соответствует сфере с нулевой диэлектрической проницаемостью, помещенной в однородное электрическое поле. Если бы мы имели решение задачи для сферы с диэлектрической проницаемостью х, то, положив x =0, немедленно решили бы нашу  задачу.
 
Мы раньше не разобрали такую электростатическую задачу во всех подробностях; давайте сделаем это сейчас. (Мы могли бы сразу решить задачу о жидкости с v и ψ, но будем пользоваться Е и φ, потому что привыкли к  ним.)
 
Задача ставится так: найти такое решение уравнения v2φ=0, чтобы Е= –vφ равнялось постоянной, скажем Е0, для больших r и, кроме того, чтобы радиальная компонента Е была равна нулю при r=а. Иначе говоря,

Маленькое изображение
 

Наша задача включает новый тип граничных условий — когда дφ/дr постоянно, а не тот, когда потенциал φ постоянен на поверхности. Это немножко другое условие. Получить ответ сразу нелегко. Прежде всего без шара φ был бы равен —Eoz. Тогда Е было бы направлено по z и имело бы всюду постоянную величину Ео. Мы уже исследовали случай диэлектрического шара, поляризация внутри которого однородна, и нашли, что поле внутри поляризованного шара однородно, а вне его оно совпадает с полем точечного диполя, расположенного в центре шара. Давайте напишем, что искомое решение есть суперпозиция однородного поля плюс поле диполя. Потенциал диполя (см. гл. 6) есть pz/4πε0r3. Итак, мы предполагаем, что

Маленькое изображение
 

Поскольку поле диполя спадает, как 1/r3, то на больших расстояниях мы как раз имеем поле Е0. Наше предположение автоматически удовлетворяет сформулированному выше второму условию (стр. 249). Но что нам взять в качестве силы диполя р? Для ответа мы должны использовать другое условие [уравнение (12.32)]. Мы должны продифференцировать φ по r, но, разумеется, это нужно сделать при постоянном угле θ, поэтому удобнее выразить сначала φ через r и θ, а не через z и r. Поскольку z=r cos θ,  то

Маленькое изображение
 

Радиальная составляющая Е есть

Маленькое изображение
 

Она должна быть равна нулю при r=а для всех θ. Это будет выполнено, если

Маленькое изображение
 

Заметьте хорошенько, что если бы оба члена в уравнении (12.35) зависели бы от θ по-разному, то мы не смогли бы выбрать р так, чтобы (12.35) обращалось в нуль при r=а для всех углов. Тот факт, что это получилось, означает, что мы были мудры, написав уравнение (12.33). Конечно, когда мы догадывались, мы заглядывали вперед; мы знали, что понадобится еще один член, который бы, во-первых, удовлетворял v2φ=0 (любое действительное поле удовлетворяет этому), во-вторых, зависел от cos θ и, в-третьих, спадал бы к нулю при больших r. Поле диполя — единственное, которое удовлетворяет всем трем  требованиям.
 
С помощью  (12.36) наш потенциал приобретает вид

Маленькое изображение
 

Решение задачи о течении жидкости может быть записано просто:

Маленькое изображение
 

Отсюда прямо находится v. Больше мы не будем заниматься этим вопросом.



СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2024
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.