На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Двумерные поля; функции комплексного переменного

Комплексная величина з определяется так:

Маленькое изображение
 

(Не перепутайте з с координатой z; координата z не встретится в дальнейшем, потому что зависимости полей от z не будет.) Тогда каждой точке на плоскости (х, у) отвечает комплексное число з. Мы можем считать з особой (комплексной) переменной величиной и с ее помощью записывать обычные математические функции  F(з).   Например,

Маленькое изображение
 

и т. д.
 
Если дана некоторая определенная функция F(з), то можно подставить з=x + iy; получится функция от х и у с действительной и мнимой частями. Например,

Маленькое изображение
 

Любую функцию F (з) можно записать в виде суммы чисто действительной и чисто мнимой частей, и каждая из частей будет функцией от х и у:

Маленькое изображение
 

где U(x, у) и V(x, у) — действительные функции. Значит, из любой комплексной функции F(з) можно произвести две новые функции U (х, у) и V(x, у). К примеру, F(з)=з2 дает две функции:

Маленькое изображение
 

Мы подошли сейчас к удивительной математической теореме, столь прекрасной, что доказательство ее придется отложить до соответствующего математического курса. (Если мы начнем заранее приоткрывать все тайны математики, она покажется вам потом скучной.) Теорема эта состоит вот в чем. Для любой «нормальной» функции (что это такое, репетитор по математике вам объяснит лучше) функции U и V автоматически удовлетворяют соотношениям

Маленькое изображение
 

Отсюда немедленно следует, что каждая из функций U и V удовлетворяет уравнению Лапласа:

Маленькое изображение
 

Сразу видно, что для функций (7.5) и (7.6) эти уравнения выполняются.
 
Значит, всегда, отправившись от какой угодно обычной функции, можно прийти к двум функциям U ( х, у) и V (х, у), которые обе есть решения двумерного уравнения Лапласа. Каждая функция представляет некоторый электростатический потенциал. Любая выбранная нами функция F(з) обязана снабдить нас решением какой-то задачи из электростатики, вернее даже двух задач, потому что решением является как U, так и V. Так можно выписать сколько угодно решений: просто напридумывать множество функций и останется только найти задачи с такими решениями. Такой подход к задачам вполне допустим, хоть он и производится задом наперед.
 
Для примера посмотрим, к какой физической задаче приведет нас функция F(з) = з2. Из нее мы получаем две потенциальные функции (7.5) и (7.6). Чтобы увидеть, какую задачу решает функция U, мы найдем эквипотенциальные поверхности, полагая U равным постоянному числу А:

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеЭто уравнение прямоугольной гиперболы. Перебирая разные значения А, мы получаем семейство гипербол, начерченное на фиг. 7.1. Когда А=0, то гиперболы вырождаются в пару диагоналей, проходящих через начало.

Маленькое изображениеТакое семейство эквипотенциальных поверхностей встречается в нескольких физических задачах. В одной из них оно изображает детали структуры поля возле точки между двумя одинаковыми точечными зарядами. В другой оно изображает поле внутри прямого угла, образованного двумя проводящими плоскостями. Если есть два электрода, изогнутых так, как показано на фиг. 7.2, и имеющих разные потенциалы, то поле внутри угла С будет выглядеть в точности так же,  как поле около начала координат на фиг. 7.1. Сплошные линии — это эквипотенциальные поверхности, а пересекающие их штриховые — это линии поля Е. Вблизи острия или выступа электрическое поле повышается, а возле впадины или отверстия оно слабеет.

Найденное нами решение отвечает также гиперболическому электроду, помещенному около прямого угла, или двум гиперболам при соответствующих потенциалах. Заметьте, что поле фиг. 7.1 имеет интересное свойство. Составляющая х электрического поля Е дается выражением

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениет. е. электрическое поле пропорционально расстоянию от оси координат. Этот факт был использован, чтобы создать устройство (называемое квадрупольной линзой), необходимое для фокусирования пучков частиц (см. вып. 6, гл. 29, § 9). Фокусирующее поле обычно получают с помощью четырех гиперболических электродов, изображенных на фиг. 7.3. Проводя здесь линии электрического поля, мы просто перечертили с фиг. 7.1 семейство штриховых кривых V=const. Эти линии достались нам совершенно бесплатно! Кривые V=const перпендикулярны к кривым U=const, как это следует из уравнений (7.7) и (7.8). Как только мы выбираем функцию F), то получаем из U и V сразу же эквипотенциальные линии и линии поля. Мы давно знаем, что можно решить на выбор любую из двух задач, смотря по тому, какое семейство кривых мы примем за эквипотенциальное.
 
Другим примером послужит функция

Маленькое изображение
 

Если мы напишем

Маленькое изображение
 

откуда следует

Маленькое изображение
 

Кривые U (х, у) =А и V(x, у)=В, где U и V взяты из уравнения (7.12), проведены на фиг. 7.4. И здесь тоже можно назвать немало случаев, описываемых этими полями.

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеОдин из самых интересных — это поле у края тонкой пластинки. Если линия B=0 направо от оси у изображает тонкую заряженную пластину, то линии поля  близ нее даются кривыми с различными А. Физическая  картина показана на фиг. 7.5.
 
Дальнейшие примеры — это функция

Маленькое изображение
 

дающая нам поле снаружи прямого угла, функция

Маленькое изображение
 

дающая поле заряженной нити, и функция

Маленькое изображение
 

изображающая поле двумерного аналога электрического диполя, т. е. двух параллельных прямых, заряженных противоположным знаком и помещенных вплотную друг к другу.
 
Больше этим вопросом в нашем курсе мы заниматься не будем; мы должны только подчеркнуть, что, хотя техника комплексных переменных часто оказывается очень мощной, она ограничена все же только двумерными задачами; к тому же это все-таки косвенный метод.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.