На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Векторные интегралы; криволинейный интеграл от V Ψ

В предыдущей главе мы видели, что брать производные от поля можно по-разному. Одни приводят к векторным полям; другие — к скалярным. Хотя формул  было  выведено довольно много, все их можно подытожить одним правилом: операторы д/дх, д/ду и дlдz суть три компоненты векторного оператора v. Сейчас нам хотелось бы  лучше разобраться в значении производных поля. Тогда мы легче почувствуем смысл векторных уравнений поля.
 
Мы уже говорили о смысле операции градиента (v на скаляр). Обратимся теперь к смыслу oneраций вычисления дивергенции (расходимости) и ротора (вихря). Толкование этих величин лучше всего сделать на языке векторных интегралов и уравнений, связывающих эти интегралы. Но уравнения эти, к несчастью, нельзя вывести из векторной алгебры при  помощи каких-либо легких подстановок, так что  вам  придется учить их как что-то новое. Одна из этих интегральных формул  практически тривиальна, а другие две — нет. Мы  выведем  их и поясним их смысл. Эти формулы фактически  являются математическими теоремами. Они полезны не только для толкования смысла и содержания понятий дивергенции и ротора, но и при разработке общих физических теорий. Для теории полей эти математические теоремы — все равно что теорема о сохранении энергии для механики частиц. Подобные теоремы общего характера очень важны для более глубокого понимания физики. Но вы увидите, что, за немногими простыми исключениями, они мало что дают для решения задач. К счастью,  как раз в начале нашег курса многие простые задачи будут решаться именно этими тремя интегральными формулами. Позже, однако, когда задачи станут потруднее, этими простыми методами мы больше обойтись не сможем.

Маленькое изображениеМы начнем с той интегральной формулы, куда входит градиент. Мысль, которая содержится в ней, очень проста: раз градиент есть быстрота изменения величины поля, то интеграл от этой быстроты даст нам общее изменение поля. Пусть у нас есть скалярное поле ψ(x, у, z). В двух произвольных точках (1) и (2) функция ψ имеет соответственно значения ψ(1) и ψ(2). (Используется такое удобное обозначение: (2) означает точку 2, у2, z2), а ψ(2) это то же самое, что ψ(x2, y2, z2).] Если Г (гамма) — произвольная кривая, соединяющая (1) и (2) (фиг. 3.1), то справедлива

Маленькое изображение
 

Интеграл, стоящий здесь, это криволинейный интеграл от (1) до (2) вдоль кривой Г от скалярного произведения вектора vψ на другой вектор, ds, являющийся бесконечно малым элементом дуги кривой Г [направленной от (1) к (2)].

Маленькое изображениеНапомним, что мы понимаем под криволинейным интегралом. Рассмотрим скалярную функцию f (х, у, z) и кривую Г, соединяющую две точки (1) и (2). Отметим на кривой множество точек и соединим их хордами, как на фиг. 3.2. Длина ¡-й хорды равна Δs¡, где ¡ пробегает значения 1, 2, 3,... . Под криволинейным интегралом

Маленькое изображение
 

подразумевается предел суммы

Маленькое изображение
 

где f¡ — значение функции где-то на ¡-й хорде. Предел — это то, к чему стремится сумма, когда растет число хорд (разумным образом, чтобы даже наибольшее Δs¡ →0).
 
В нашей теореме (3.1) интеграл означает то же самое, хоть и выглядит чуть по-иному. Вместо f стоит другой скаляр — составляющая  vψ в направлении Δs. Если обозначить эту составляющую через  (vψ)t  то ясно, что

Маленькое изображение
 

Интеграл в (3.1) и подразумевает  сумму таких членов.
 
А теперь посмотрим, почему уравнение (3.1) правильно. В гл. 1 мы показали, что составляющая vψ вдоль малого смещения ΔR равна быстроте изменения ψ направлении ΔR. Рассмотрим хорду кривой Δs от точки (1) до точки а на фиг. 3.2.   По нашему определению

Маленькое изображение
 

Точно так же мы имеем

Маленькое изображение
 

где, конечно, (vψ)1 означает градиент, вычисленный на хорде Δs1, а (vψ)2 — градиент, вычисленный на Δs2. Сложив (3.3) и (3.4), получим

Маленькое изображение
 

Вы видите, что, продолжая прибавлять такие члены, мы получаем в итоге

Маленькое изображение
 

Левая часть не зависит от того, как выбирать интервалы — лишь бы точки (1) и (2) были теми же самыми, так что справа можно перейти к пределу. Так доказывается уравнение (3.1). Из нашего доказательства видно, что, подобно тому как равенство не зависит и от выбора точек а,b, с,..., точно так же оно не зависит от выбора самой кривой Г. Теорема верна для любой кривой, соединяющей точки (1) и (2).
 
Два слова об обозначениях. Не будет путаницы, если писать для удобства

Маленькое изображение
 

Тогда наша теорема примет такой вид:

Маленькое изображение
 



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.