На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Вторые производные векторных полей

Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно составить несколько комбинаций:

Маленькое изображение
 

Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.
 
Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и

Маленькое изображение
 

потому что А Х А всегда нуль. Значит,

Маленькое изображение
 

Можно понять, как это получается, если расписать одну из компонент:

Маленькое изображение
 

что равно нулю [по уравнению (2.8)]. Это же верно и для других компонент. Стало быть, vХ(vТ)=0 для любого распределения температур, да и для всякой скалярной функции.
 
Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на векторное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю

Маленькое изображение
 

потому что Ах В перпендикулярно к А и не имеет тем самым составляющих вдоль А. Сходная комбинация стоит в списке  (2.45) под номером (г):

Маленькое изображение
 

В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах.
 
Теперь сформулируем без доказательства две теоремы. Они очень интересны и весьма полезны для физиков.
 
В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля А) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Это легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что А будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор А с необходимостью обратится в нуль. Имеется интересная теорема, утверждающая, что если ротор А есть нуль, то тогда А непременно окажется чьим-то градиентом; существует некоторое скалярное поле ψ (пси), такое, что A=grad ψ. Иными словами, справедлива

Маленькое изображение
 

Сходная теорема формулируется и для случая, когда дивергенция А есть нуль. Из уравнения (2.49) видно, что дивергенция ротора любой величины равна всегда нулю. Если вам случайно встретилось векторное поле D, для которого div D — нуль, то вы имеете право заключить, что D это ротор некоторого векторного поля С.

Маленькое изображение
 

Перебирая всевозможные сочетания двух операторов v, мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию v·(vТ), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты

Маленькое изображение
 

Далее,

Маленькое изображение
 

что может, вообще говоря, быть любым числом. Это скалярное поле.
 
Вы видите, что скобок можно не ставить, а вместо этого писать, не рискуя ошибиться:

Маленькое изображение
 

Если Вы хотите всегда писать грамотно и никогда не ошибаться, обратитесь к репетитору русского языка.

Можно рассматривать v2 как новый оператор. Это скалярный оператор. Так как он в физике встречается часто, ему дали особое имя — лапласиан.

Маленькое изображение
 

Раз оператор лапласиана — оператор скалярный, он может действовать и на вектор. Под этим мы подразумеваем, что он применяется к каждой компоненте вектора

Маленькое изображение
 

Рассмотрим еще одну возможность: vX(vXh) [(д) в списке (2.45)]. Ротор от ротора можно написать иначе, если использовать векторное равенство (2.6)

Маленькое изображение
 

Заменим в этой формуле А и В оператором v и положим C=h. Получится

Маленькое изображение
 

Погодите-ка! Здесь что-то не так. Как и положено, первые два члена — векторы (операторы утолили свою жажду), но последний член совсем не такой. Он все еще оператор. Ошибка в том, что мы не были осторожны и не выдержали нужного порядка членов. Вернувшись обратно, вы увидите, что (2.55) можно с равным успехом записать в виде

Маленькое изображение
 

Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу подстановку в (2.56). Получится

Маленькое изображение
 

С этой формулой уже все в порядке. Она действительно правильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. Последний член — это лапласиан, так что с равным успехом можно написать

Маленькое изображение
 

Из нашего списка (2.45) двойных v мы разобрали все комбинации, кроме (в), v(v·h). В ней есть смысл, это — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое может случайно возникнуть в каком-нибудь расчете.
 
Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:

Маленькое изображение
 

Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый векторный оператор vХv. Понимаете, почему?



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.