На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Сложение двух волн

Не так давно мы довольно подробно обсуждали свойства световых волн и их интерференцию, т. е. эффект суперпозиции двух волн от различных источников. Но при этом предполагалось, что частоты источников одинаковы. В этой же главе мы остановимся на некоторых явлениях, возникающих при интерференции двух источников с различными частотами.
Нетрудно догадаться, что при этом произойдет. Действуя так же, как прежде, давайте предположим, что имеются два одинаковых осциллирующих источника с одной и той же частотой, причем фазы их подобраны так, что в некоторую точку Р сигналы приходят с одинаковой фазой. Если это свет, то в этой точке он очень ярок, если это звук, то он очень громок, а если это электроны, то их очень много. С другой стороны, если приходящие волны отличаются по фазе на 180°, то в точке Р не будет никаких сигналов, ибо полная амплитуда будет иметь здесь минимум. Предположим теперь, что некто крутит ручку «регулировка фазы» одного из источников и меняет разность фаз в точке Р то туда, то сюда, скажем сначала он делает ее нулевой, затем—равной 180° и т. д. При этом, разумеется, будет меняться и сила приходящего сигнала. Ясно теперь, что если фаза одного из источников медленно, постоянно и равномерно меняется по сравнению с другим, начиная с нуля, а затем возрастает постепенно до 10, 20, 30, 40° и т. д., то в точке Р мы увидим ряд слабых и сильных «пульсаций», ибо когда разность фаз проходит через 360°, в амплитуде снова возникает  максимум.   Но   утверждение, что один источник с постоянной скоростью меняет свою фазу по отношению к другому, равносильно утверждению, что число колебаний в 1 сек у этих двух источников несколько различно.
 
Итак, теперь известен ответ: если взять два источника, частоты которых немного различны, то в результате сложения получаются колебания с медленно пульсирующей интенсивностью. Иначе говоря, все сказанное здесь действительно имеет отношение к делу!

Маленькое изображениеЭтот результат легко получить и математически. Предположим, например, что у нас есть две волны и забудем на минуту о всех пространственных соотношениях, а просто посмотрим, что приходит в точку Р. Пусть от одного источника приходит волна cos (ω1t, а от другого— волна cos ω2t, причем обе частоты ω1 и ω2 не равны в точности друг другу. Разумеется, амплитуды их тоже могут быть различными, но сначала давайте предположим, что амплитуды равны. Общую задачу мы рассмотрим позднее. Полная амплитуда в точке Р при этом будет суммой двух косинусов. Если мы построим график зависимости амплитуды от времени, как это показано на фиг.48.1, то окажется, что, когда гребни двух волн совпадают, получается большое отклонение, когда совпадают гребень и впадина — практически нуль, а когда гребни снова совпадают,   вновь получается большая волна.
 
Математически нам нужно взять сумму двух косинусов и как-то ее перестроить. Для этого потребуются некоторые полезные соотношения между косинусами. Давайте получим их. Вы знаете, конечно, что

Маленькое изображение
 

и что вещественная часть экспоненты е` равна cos a, a мнимая часть равна sin а. Если мы возьмем вещественную часть ехр [ — i(a+b)],   то   получим  cos (a + b), a для  произведения

Маленькое изображение
 

мы получаем cos a cos b — sin a sin b плюс некоторая мнимая добавка. Сейчас, однако, нам нужна только вещественная часть. Таким образом,

Маленькое изображение
 

Если теперь изменить знак величины b, то, поскольку косинус при этом не изменяет знака, а синус изменяет знак на обратный, мы получаем аналогичное выражение для косинуса разности

Маленькое изображение
 

После сложения этих двух уравнений произведение синусов сократится, и мы находим, что произведение двух косинусов равно   половине   косинуса   суммы  плюс  половина   косинуса разности

Маленькое изображение
 

Теперь можно обернуть это выражение и получить формулу для cos α + cos β, если просто положить α= a + b, a β = а b, т.е.   а = 1/2(α+β), a b = 1/2(a-β):

Маленькое изображение
 

Но вернемся к нашей проблеме. Сумма cos ω1t и cos ω2t  равна

Маленькое изображение
 

Пусть теперь частоты приблизительно одинаковы, так что 1/21 + ω2) равна какой-то средней частоте, которая более или менее та же, что и каждая из них. Но разность ω1 - ω2 гораздо меньше, чем ω1 и ω2, поскольку мы предположили, что ω1 и ω2 приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусообразная волна с частотой, более или менее равной первоначальным, но что «размах» ее медленно меняется: он пульсирует с частотой, равной 1/2(ω1 - ω2). Но та ли это частота, с которой мы слышим биения? Уравнение (48.6) говорит, что амплитуда ведет себя как cos1/21 - ω2), и это надо понимать так, что высокочастотные колебания заключены между двумя косинусоидами с противоположными знаками (пунктирная линия на фиг. 48.1). Хотя амплитуда действительно меняется с частотой 1/2(ω1 - ω2), однако если речь идет об интенсивности волн, то мы должны представлять себе частоту в два раза большую. Иначе говоря, модуляция амплитуды в смысле ее интенсивности происходит с частотой ω1 - ω2, хотя мы и умножаем на косинус половинной частоты.
 
Пренебрегая этими небольшими усложнениями, мы можем заключить, что если складывать две волны с частотами ω1  и  ω2, то получим волну с частотой, равной средней частоте 1/2(ω12), «сила»  которой  осциллирует  с  частотой   ω1 - ω2.
 
Если амплитуды двух волн различны, то можно, конечно, повторить все вычисления снова, умножив предварительно косинусы на различные амплитуды А1 и А2 и произведя массу всяких математических вычислений, перестроек и т. п. с использованием уравнений, подобных (48.2)—(48.5). Однако есть и другой, более легкий путь провести этот же анализ. Известно, например, что гораздо легче работать с экспонентами, чем с синусами и косинусами, поэтому можно представить Alcos ω1t как реальную часть экспоненты А1ехр (iω1t). Подобным же образом вторая волна будет реальной частью А2ехр (iω2t).  После сложения этих экспонент А1ехр (iω1t) + А2ехр (iω2t) и выделения в качестве множителя экспоненты со средней частотой мы получим

Маленькое изображение
 

т. е. снова оказывается, что высокочастотная волна модулируется малой частотой.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.