На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении.
 
Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде f(xvt). Посмотрим теперь, является ли f(xvt) решением волнового уравнения. Вычисляя дχ/дх, получаем производную функции dχ/dx=f`(xvt). Дифференцируя еще раз, находим

Маленькое изображение
 

Дифференцируя эту же функцию χ по t, получаем значение — v, умноженное на производную, или dχ/dt =vf`(x vt); вторая производная по времени дает

Маленькое изображение
 

Очевидно, что f vt)   удовлетворяет волновому уравнению, если v равно cs.
Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью cs и, кроме того,

Маленькое изображение
 

тем самым мы   связали  скорость  звуковых  волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущение вида χ(х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке v, но знак d2χ/dt2 не зависит от выбора x+vt или хvt, потому что в эту производную входит только v2. Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью cs.


Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем χ1. Это значит, что вторая производная χ1. по х равна второй производной χ1 по t, умноженной на 1/с2s. И пусть есть второе решение χ2 обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается

Маленькое изображение
 

Теперь мы хотим удостовериться, что χ(х, t) тоже представляет некую волну, т. е. χ тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

Маленькое изображение
 

Отсюда следует, что d2χ/dx2 = (1/c2s)d2χldt2, так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по χ.


Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси у, тоже удовлетворяет волновому уравнению

Маленькое изображение
 

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.