На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Волновое уравнение

Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:
I. Газ движется, и плотность его меняется.
II. При изменении плотности меняется и давление.
III. Неравномерное распределение давления вызывает движение газа.
Рассмотрим сначала свойство II. Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Ро и плотностью ρ0. Давление Р зависит от плотности среды: Р=f(ρ), и в частности равновесное давление Р0=f(ρ0). Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление удобно измерять в барах (1 бар = 105н/м2). Давление в одну стандартную атмосферу приблизительно равно 1 бар (1 атм = 1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как восприятие уха, грубо говоря, растет логарифмически. В этой децибельной шкале уровень звукового давления I связан с амплитудой звукового давления:

Маленькое изображение
 

где давление отнесено к некоторому стандартному давлению Ротн=2*10-10 бар.
 
Звуковое давление Р=103 Ротн=2*10-7 бар соответствует довольно сильному звуку в 60 дб. Мы видим, что давление меняется в звуковой волне на очень малую величину по сравнению с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может превышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дб встречается редко; уровень силы звука в 120 дб уже вызывает боль в ушах. Поэтому, написав для звуковой волны

Маленькое изображение
 

можно считать, что изменение давления Рu очень мало по сравнению с Ро, а изменение плотности ρu очень мало по сравнению с ρ0. Тогда

Маленькое изображение
 

где Ро = f (ρ0) и f(ρ0) — производная от f(ρ), взятая при значении ρ = ρ0. Второе равенство здесь возможно только потому, что ρu очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление Рu пропорционально избыточной плотности ρu; коэффициент пропорциональности обозначается через μ:

Маленькое изображение
 

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства II.

Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени t на величину χ(х, t), так что его новое положение есть x+χ (х, t), как показано на фиг. 47.3. Далее, положение соседнего элемента объема есть х+Δх, и его смещенное положение есть х + Δх + χ (х + Δх, t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Δх, есть ρ0Δх, где ρ0 —невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+χ (х, t) и х + Δх + χ (х + Δх, t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Δх до прихода волны. Если через ρ обозначить новую плотность, то

Маленькое изображение
 

Поскольку Δx мало, можно написать χ(х+Δх, t) χ(x, t)  =χ/дх) Δх. Здесь уже появляется частная производная, потому что χ зависит и от ее, и от времени. Наше уравнение принимает вид

Маленькое изображение
 

Но в звуковой волне все изменения малы, так что ρu мало, χ мало и дχ/дх тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

Маленькое изображение
 

можно пренебречь   ρu(dy/dx)   по сравнению с   ρ0(dχ/dx).   Так мы  приходим     к    соотношению,      которое      требовалось согласно свойству I:

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеИменно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных х, плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если смещение χ растет с ростом х, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.
 
Теперь нам нужно найти третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотношение между силой и давлением, можно получить уравнение движения. Возьмем объем воздуха толщиной Δх и с единичной площадью грани, перпендикулярной х, тогда масса воздуха в этом объеме есть ρ0Δх, а ускорение воздуха есть dχ/dt2, так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть ρ0Δх2χ/dt2). (Если Δх мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единичную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси х, должна быть равна ρ0Δх2χ/dt2). В точке х мы имеем силу Р(х, t), действующую на единицу площади в направлении +х, а в точке х+Δх возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(х+Δх, t) (фиг. 47.4):

Маленькое изображение
 

Мы учли, что Δх мало и что только избыточное давление Рu меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству III мы получаем

Маленькое изображение
 

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Рu в (47.11) с помощью (47.4):

Маленькое изображение
 

а затем исключить   рu   с  помощью   (I). Тогда ρ0 сократится и у нас  останется

Маленькое изображение
 

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распространение звука в среде.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.