На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Результирующее поле n одинаковых осцилляторов

Настоящая глава — непосредственное продолжение предыдущей, хотя название «Интерференция» здесь заменено словом «Дифракция». До сих пор никому не удалось удовлетворительным образом определить разницу между дифракцией и интерференцией. Дело здесь только в привычке, а существенного физического различия между этими явлениями нет. Единственное, что можно сказать по этому поводу,— это следующее: когда источников мало, например два, то результат их совместного действия обычно называют интерференцией, а если источников много, то чаще говорят о дифракции. Поэтому мы не будем утруждать себя вопросом — интерференция это или дифракция, а просто продолжим наше обсуждение с того места, где мы остановились в предыдущей главе.

Обсудим теперь случай, когда имеется n осцилляторов, расположенных на равных расстояниях один от другого и обладающих равными амплитудами, но разными фазами создаваемых ими полей. Разность фаз создается либо из-за выбора определенных фазовых сдвигов колебаний осцилляторов, либо потому, что мы находимся под углом к осцилляторам и возникает разность хода лучей. Независимо от причины возникновения разности фаз необходимо вычислить сумму такого вида:

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениегде φ — разность фаз соседних осцилляторов для некоторого направления лучей. В данном частном случае φ =α + 2πd 1/λ sin θ. Вычислим сумму R. Для этого воспользуемся геометрическим способом сложения. Длина первого слагаемого А, а его фаза равна нулю; длина второго также А, а фаза его равна φ. Следующее слагаемое имеет снова длину А и фазу, равную 2 φ, и т. д. В конце концов получается часть правильного многоугольника с n сторонами (фиг. 30.1).

Вершины многоугольника лежат, конечно, на окружности, и чтобы легче было определить результирующую амплитуду, найдем радиус этой окружности. Пусть Q есть ее центр. Тогда угол OQS равен как раз фазе φ (поскольку радиус QS образует с А2 такой же угол, как QO с A1). Следовательно, радиус r должен удовлетворять равенству А = 2r sin φ/2, откуда мы и находим величину r. Далее, большой угол OQT равен nφ; следовательно, AR=2 r sin n φ/2. Исключая из обоих равенств r, получаем

Маленькое изображение
 

Таким образом, суммарная интенсивность оказывается равной

Маленькое изображение
 

Проанализируем это выражение и обсудим вытекающие из него следствия. Прежде всего, положив n = 1, получим, как и следовало ожидать, I = I0. Проверим формулу для n = 2: с помощью соотношения sin φ =2 sin φ/2 cos φ/2 сразу находим AR = 2 A cos φ/2, что совпадает с (29.12).

Мы вынуждены рассматривать сложение полей от многих источников потому, что в этом случае интенсивность в одном направлении получается много больше, чем в соседних, т. е. все побочные максимумы интенсивности оказываются гораздо меньше основного. Чтобы понять этот факт, начертим кривую соответствующую выражению (30.3) для больших n и φ, близких к нулю. Прежде всего, когда φ точно равно нулю, мы получаем отношение 0/0, но фактически для бесконечно малых φ отношение синусов равно n2, так как синус можно заменить его аргументом. Таким образом, максимум кривой в n2 раз больше интенсивности одного осциллятора. Этот результат легко понять, поскольку при нулевой разности фаз все n маленьких векторов складываются в один вектор, в n раз больший исходного, а интенсивность увеличивается в n2 раз.

Маленькое изображениеС ростом фазы φ отношение двух синусов падает и обращается в нуль в первый раз при nφ/2 = π, поскольку sin π = 0. Другими словами, значение φ = 2 π/n отвечает первому минимуму кривой (фиг. 30.2). С точки зрения векторов на фиг. 30.1 первый минимум возникает в том случае, когда стрелки векторов возвращаются в исходную точку, при этом полная разность фаз от первого до последнего осциллятора равна 2π.

Перейдем к следующему максимуму и покажем, что он действительно, как мы и ждали, много меньше первого. Для точного определения положения максимума необходимо учитывать, что и числитель, и знаменатель в (30.3) оба меняются с изменением φ. Мы не станем этого делать, поскольку при большом n sin φ/2 меняется медленнее sin nφ/2 и условие sin nφ/2 = 1 дает положение максимума с большой точностью. Максимум sin2 nφ/2 достигается при nφ/2 =Зπ/2 или φ = Зπ/n. Это означает, что стрелки векторов описывают полторы окружности.

Подставляя φ=3π/n, получаем sin23π/2 =1 в числителе (30.3) (с этой целью и был выбран угол φ) и sin23π/2n в знаменателе. Для достаточно большого n можно заменить синус его аргументом: sin 3π/2n =3π/2n. Отсюда интенсивность во втором максимуме оказывается равной I = I0 (4n2/9π2). Но n2I0 — не что иное, как интенсивность в первом максимуме, т. е. интенсивность второго максимума получается равной 4/9π22 от максимальной, что составляет 0,047, или меньше 5%! Остальные максимумы, очевидно, будут еще меньше. Таким образом, возникает очень узкий основной максимум и очень слабые дополнительные максимумы по обе стороны от основного.

Можно показать, что площадь под кривой интенсивности, включая все максимумы, равна 2πnI0 и в два раза превышает площадь пунктирного прямоугольника на фиг. 30.2.

Посмотрим теперь, что дает формула (30.3) в приложении к разным случаям. Пусть источники расположены на одной линии, как показано на фиг. 30.3. Всего имеется n источников на расстоянии d друг от друга, и сдвиг фазы между соседними источниками выбран равным α. Тогда для лучей, распространяющихся в заданном направлении θ, отсчитываемом от нормали, вследствие разности хода лучей от двух соседних источников возникает дополнительный сдвиг фазы 2πd 1/λ sinθ. Таким образом,

Маленькое изображение
 

Рассмотрим сначала случай α =0. Все осцилляторы колеблются с одной фазой; требуется найти интенсивность их излучения как функцию угла θ. Подставим с этой целью φ=kd sin θ в формулу (30.3) и посмотрим, что получится в результате. Прежде всего при φ=0 возникает максимум. Значит, осцилляторы, колеблющиеся с одной фазой, дают мощное излучение в направлении θ =0. Интересно узнать, где находится первый минимум.

Он возникает при φ=2π/n; другими словами, первый минимум кривой интенсивности определяется из соотношения (2πd/λ) sin θ =2π/n. Сокращая на 2π, получаем

Маленькое изображение
 

Теперь разберем с физической точки зрения, почему минимум возникает именно в этом месте. В этом выражении nd есть полная длина L нашей системы осцилляторов. Обращаясь к фиг. 30.3, мы видим, что nd sin θ =L sin θ=Δ. Формула (30.5) подсказывает нам, что минимум возникает при Δ, равном одной длине волны. Но почему минимум получается при Δ = λ? Дело в том, что поля от отдельных осцилляторов равномерно распределены по фазе от 0 до 360°. Стрелки (см. фиг. 30.1) описывают полную окружность; мы складываем равные векторы, имеющие произвольные направления, а в этом случае сумма равна нулю. Вот при таких значениях угла, когда Δ = λ, возникает минимум. Это и есть первый минимум.

Формула (30.3) имеет еще одну важную особенность: при увеличении угла φ на число, кратное 2π, значение интенсивности не меняется. Поэтому для φ=2π, 4π, 6π и т. д. также возникают резкие и высокие максимумы. Вблизи этих максимумов интенсивность повторяет свой ход (см. фиг. 30.2). Зададимся вопросом, в силу каких геометрических соотношений возникают другие максимумы? Условие появления максимума записывается в виде φ=2πm, где m — любое целое число. Отсюда получаем (2πd/λ) sin θ =2πm. Сокращая на 2π, получаем

Маленькое изображение
 

Это соотношение очень похоже на формулу (30.5). Однако там было nd sin θ =λ. Разница в том, что здесь нужно взять каждый отдельный источник и выяснить, что для него означает условие d sin θ=mλ; угол θ здесь таков, что разность хода δ = mλ. Другими словами, волны, идущие от источников, различаются по фазе на величину, кратную 360°, и, следовательно, все находятся в фазе. Поэтому при сложении волн возникает столь же высокий максимум, как и в рассмотренном ранее случае m=0. Побочные максимумы и весь ход интенсивности здесь такие же, как в случае φ =0. Таким образом, наша система посылает пучки лучей в разных направлениях, причем каждый пучок имеет высокий центральный максимум и ряд слабых боковых. Главные (центральные) максимумы в зависимости от величины m называются максимумами нулевого, первого и т. д. порядков; m называют порядком максимума.

Обратите внимание на такой факт: если d меньше λ, то формула (30.6) имеет единственное решение при m=0. Поэтому для малого расстояния между источниками возникает один-единственный пучок, сконцентрированный около θ=0. (Разумеется, есть еще пучок в обратном направлении.) Чтобы получить максимумы других порядков, расстояние d должно быть больше одной длины волны.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.