Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 3 >> Глава 29. Интерференция

Математическое описание интерференции

Мы рассматривали излучение диполей с качественной точки зрения, теперь рассмотрим количественную картину. Найдем прежде всего суммарное поле от двух источников в самом общем случае, когда разность фаз α и силы осцилляторов A₁ и A₂ произвольны; для этого необходимо сложить два косинуса с одинаковой частотой, но разными фазами. Разность фаз находится весьма просто: она складывается из разности, возникающей за счет неодинакового удаления точки наблюдения от обоих источников, и внутренней, заданной разности фаз колебаний. Выражаясь математически, нам необходимо сложить две волны: R =A₁ cos (ωt + φ₁) + A₂ cos (ωt + φ₂). Как это сделать?

Каждый, вероятно, сумеет провести это сложение, но тем не менее проследим за ходом вычислений. Прежде всего, если мы разбираемся в математике и достаточно ловко управляемся с синусами и косинусами, эту задачу легко решить. Самый простой случай, когда амплитуда А₁ равна A₂, и пусть обе они обозначаются через А. В этих условиях (назовем это тригонометрическим методом решения задачи) мы имеем

На уроках тригонометрии вы, вероятно, доказывали равенство

Если это нам известно, то мы немедленно получаем R:

Итак, мы снова получили синусоидальную волну, но с новой фазой и новой амплитудой. Вообще результат сложения двух синусоидальных волн есть синусоидальная волна с новой амплитудой A_R, называемой результирующей амплитудой, и новой фазой φ_R, называемой результирующей фазой. В нашем частном случае результирующая амплитуда равна

а результирующая фаза есть арифметическое среднее обеих фаз. Таким образом, поставленная задача полностью решена.

Предположим теперь, что мы забыли формулу сложения косинусов. Тогда можно применить другой метод решения — геометрический. Косинус, зависящий от ωt, можно представить в виде горизонтальной проекции некоторого вращающегося вектора. Пусть имеется вектор A₁, вращающийся с течением времени; длина его равна A₁, а угол с осью абсцисс равен ωt +φ₁.(Мы пока опустим слагаемое ωt; как мы увидим, при выводе это не играет роли.) Сделаем моментальный снимок векторов в момент времени t = 0, помня, что на самом деле вся схема вращается с угловой скоростью ω (фиг. 29.9). Проекция А₁ на ось абсцисс в точности равна А₁ cos (ωt +φ₁). В момент времени t = 0 вторая волна представляется вектором А₂, длина которого равна А₂, а его угол с осью абсцисс равен φ₂, причем он тоже вращается с течением времени. Оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью ω, и их относительное расположение неизменно. Вся система вращается жестко, подобно твердому телу.

Горизонтальная проекция А₂ равна A₂ cos(ωt + φ₂). Из векторного анализа известно, что при сложении двух векторов по правилу параллелограмма образуется новый, результирующий вектор A_R, причем х-компонента его есть сумма х-компонент слагающих векторов. Отсюда получаем решение нашей задачи. Легко проверить, что получается правильный ответ в нашем частном случае А₁ = А₂ = А. Действительно, из фиг. 29.9 очевидно, что A_R лежит посредине между А₁ и А₂ и составляет угол ½ (φ₂ — φ1) с каждым из них. Следовательно, A_R = 2A cos ½ (φ₂ — φ1), что совпадает с прежним результатом. Кроме того, в случае A₁ — А₂ фаза A_R есть среднее от фаз А₁ и A₂. Для неравных A₁ и А₂ задача решается столь же просто. Мы можем назвать это геометрическим решением задачи.

Существует еще один метод решения задачи, его можно было бы назвать аналитическим. Вместо того чтобы рисовать схему, подобную приведенной на фиг. 29.9, напишем выражения, имеющие тот же смысл, что и чертеж, и сопоставим каждому вектору комплексное число. Действительные части этих комплексных чисел отвечают реальным физическим величинам. В нашем конкретном случае волны записываются следующим образом: A₁ехр[i (ωt+φ₁)] [действительная часть этого равна A₁ cos (ωt+φ₁)] и A₂ехр[i (ωt+φ₂)]. Сложим обе волны:

или

Задача, таким образом, решена, так как мы имеем окончательный результат в виде комплексного числа с модулем A_R и фазой φ_R.

Для иллюстрации аналитического метода найдем амплитуду A_R, т. е. «длину» R. «Длина» комплексного числа в квадрате есть само комплексное число, умноженное на сопряженное ему. Комплексное сопряжение состоит в изменении знака i. Отсюда получаем

Перемножая, получаем А₁² + А₂² и перекрестные члены

т. е. e^iθ +e^-iθ = 2 cos θ. Следовательно, окончательный результат есть

(С помощью формул тригонометрии легко установить совпадение получаемого результата с длиной A_R на фиг. 29.9.)

Итак, суммарная интенсивность складывается из члена А₁², возникающего от действия только первого источника, интенсивности А₂², равной интенсивности второго источника, и еще дополнительного члена. Этот дополнительный член мы назовем эффектом интерференции. Он представляет собой разность между истинным результатом сложения и суммой интенсивностей. Интерференционный член может быть как положительным, так и отрицательным. [Интерференция (interference) в английской разговорной речи означает возражение, помеху, но в физике слова часто теряют первоначальный смысл и употребляются совсем в другом значении!] Если интерференционный член положителен, мы будем говорить о конструктивной интерференции (буквальный смысл этого выражения покажется ужасным всем, кроме физиков!). В противном случае мы говорим о деструктивной интерференции.

Посмотрим теперь, как применить нашу общую формулу (29.16) для сложения полей излучения двух осцилляторов к тем частным случаям, которые мы уже качественно обсуждали. Для этого необходимо лишь вычислить разность фаз φ₁ – φ2 двух сигналов, приходящих в данную точку пространства. (Эффект, разумеется, связан с разностью фаз, а не с их абсолютными значениями.) Рассмотрим случай, когда два осциллятора с равными амплитудами и с относительной фазой колебаний α (когда колебания одного имеют фазу нуль, фаза другого равна α) расположены на расстоянии d друг от друга. Будем искать интенсивность под углом θ к линии запад — восток. [Заметьте, что этот угол не имеет ничего общего с углом θ в формуле (29.1).] Разность расстояний от точки Р до осцилляторов равна d sin θ (фиг. 29.10), поэтому разность фаз, возникающая по этой причине, равна числу длин волн, заключенных на отрезке d sin θ, умноженному на 2 π. (Более подготовленный читатель, вероятно, умножил бы волновое число k, т. е. скорость изменения фазы с расстоянием, на d sin θ, результат получится тот же самый.) Разность фаз, возникающая из-за разности хода лучей, есть, таким образом, (2π d sin θ) /λ, но из-за относительного запаздывания осцилляторов возникает дополнительная разность фаз α. Отсюда полная разность фаз двух волн в точке наблюдения равна

Это выражение охватывает все случаи. Теперь остается только подставить его в (29.16) и положить А₁ = A₂; получится формула, с помощью которой можно вывести все результаты для двух антенн одинаковой интенсивности.

Рассмотрим частные случаи. Например, на фиг. 29.5 мы полагали, что интенсивность на угол 30° равна 2. Откуда это получается? Осцилляторы находятся на расстоянии λ/2, следовательно, для угла 30° d sin θ = λ/4, отсюда φ₂ — φ₁ = 2πλ/4λ  = π/2 и интерференционный член равен нулю. (Происходит сложение двух векторов, направленных под углом 90° друг к другу.) Сумма векторов есть гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, она в √2 раз больше каждой амплитуды. Следовательно, интенсивность в 2 раза больше интенсивности каждого источника в отдельности. Все остальные примеры исследуются точно таким же способом.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: