На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Оператор импульса

Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р) dp — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда

Маленькое изображение
 

Обозначим теперь через |ψ> амплитуду того, что состояние | ψ> есть состояние с определенным импульсом | р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп. р | ψ>; она является функцией от р, как <x | ψ> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было

Маленькое изображение
 

что очень похоже на то, что мы имели для <x>ср.
 
При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:

Маленькое изображение
 

Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <ψ|β> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние | β> определяется в импульсном  представлении  уравнением

Маленькое изображение
 

Иначе говоря, теперь можно писать

Маленькое изображение
 

где оператор р определяется на языке р-представления уравнением (18.47).
[
И опять при желании можно показать, что матричная запись р такова:

Маленькое изображение
 

Выводится это так же, как и для х.]  
Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать <р>ср так, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл оператора р в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать р в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция ψ(x) и мы собираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что зададим <р> уравнением (18.48), то это уравнение можно будет разложить по p-представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p-представление состояния, а именно амплитуда <р|ψ> как алгебраическая функция импульса р, то из (18.47) можно получить <p|β> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в х-представлении, а именно волновая функция ψ(x) = <x|ψ>?
 
Ну что ж, начнем раскладывать (18.48) в x-представлении. Напишем

Маленькое изображение
 

Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние |β> в x-представлении. Если мы узнаем это, мы сможем взять интеграл. Итак, наша задача — найти функцию β(x)=<x|β>. Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, § 3,  как <р|β>  связано  с  <x|β>.  Согласно уравнению (14.24),

Маленькое изображение
 

Если нам известно <р|β>, то, решив это уравнение, мы найдем <x|β>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через ψ(x)=<x|ψ;>, потому что считается, что именно эта величина нам известна. Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем

Маленькое изображение
 

Интеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл

Маленькое изображение
 

Теперь сравним это с (18.53). Может быть, вы подумали, что <x|β> равно (x)? Нет, напрасно! Волновая функция <x|β> = β(x) может зависеть только от х, но не от р. В этом-то вся трудность.
 
К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) можно проинтегрировать по частям. Производная eipx/h no x равна  (—i/h)ipx/h , поэтому  интеграл (18.55) это все равно, что

Маленькое изображение
 

Если это проинтегрировать по частям, оно превратится в

Маленькое изображение
 

Пока речь идет только о связанных состояниях, ψ (х) стремится к нулю при х→-± ∞, скобка равна нулю и мы имеем

Маленькое изображение
 

А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что

Маленькое изображение
 

Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков:

Маленькое изображение
 

Мы узнали, как выглядит (18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния |ψ>, то ответ был таков:

Маленькое изображение
 

То же самое в координатном мире записывается так:

Маленькое изображение
 

Здесь H алгебраический оператор, который  действует на функцию от х.
 
Когда мы задали  вопрос  о среднем значении х, то тоже обнаружили, что ответ имеет вид

Маленькое изображение
 

координатном  мире соответствующие уравнения  таковы:

Маленькое изображение
 

Когда мы задали вопрос о среднем  значении р, то ответ оказался

Маленькое изображение
 

В координатном мире эквивалентные уравнения имели бы вид

Маленькое изображение
 

Во всех наших трех примерах мы исходили из состояния |ψ> и создавали новое (гипотетическое) состояние с помощью квантовомеханичеспого оператора. В координатном представлении мы генерируем соответствующую волновую функцию, действуя на волновую функцию ψ(х) алгебраическим оператором. Можно говорить о взаимнооднозначном соответствии (для одномерных задач) между

Маленькое изображение
 

В этом перечне мы ввели новый символ Ρх для алгебраического оператора (h/i)/∂x:

Маленькое изображение
 

и поставили под P значок х, чтобы напомнить, что имеем пока дело с одной только x-компонентой импульса.
 
Результат этот легко обобщается на три измерения. Для других компонент импульса

Маленькое изображение
 

При  желании можно даже говорить об операторе вектора импульса и писать

Маленькое изображение
 

где  ех, еy  и еz — единичные векторы в трех направлениях. Можно записать это и еще изящнее:

Маленькое изображение
 

Окончательный вывод наш таков: по крайней мере для некоторых квантовомеханических операторов существуют соответствующие им алгебраические операторы в координатном представлении. Все, что мы до сих пор вывели (с учетом трехмерности мира), подытожено в табл. 18.1. Каждый оператор может быть представлен в двух равноценных видах :
 
либо

Маленькое изображение
 

либо

Маленькое изображение
 

Теперь мы дадим несколько иллюстраций применения этих идей. Для начала выявим связь между P и H. Если применить Px дважды, получим

Маленькое изображение
 

Это означает, что можно написать равенство

Маленькое изображение
 

Или, в векторных обозначениях,

Маленькое изображение
 

(Члены в алгебраическом операторе, над которыми нет символа оператора ˆ, означают простое умножение.) Это уравнение очень приятно, потому что его легко запомнить, если вы еще не забыли курса классической физики. Хорошо известно, что энергия (нерелятивистская) состоит из кинетической энергии р2/2т плюс потенциальная, а у нас H — тоже оператор полной энергии. Этот результат произвел на некоторых деятелей столь сильное впечатление, что они начали стремиться во что бы то ни стало вбить студенту в голову всю классическую физику, прежде чем приступить к квантовой. (Мы думаем иначе!) Параллели очень часто обманчивы. Если у вас есть операторы, то важен порядок различных множителей, а в классическом уравнении он безразличен.

Маленькое изображение
 

В гл. 15 мы определили оператор рх через оператор смещения Dx [см. формулу (15.27)]:

Маленькое изображение
 

где δ — малое смещение. Мы должны показать, что это эквивалентно нашему новому определению. В соответствии с тем, что мы только что доказали, это уравнение должно означать то же самое, что и

Маленькое изображение
 

Но в правой части стоит просто разложение ψ(x + δ) в ряд Тэйлора, а ψ(x + δ)— то, что получится, если сместить состояние влево на δ (или сдвинуть на столько же вправо систему координат). Оба наши определения р согласуются!
 
Воспользуемся этим, чтобы доказать еще кое-что. Пусть у нас в какой-то сложной системе имеется множество частиц, которым мы присвоим номера 1, 2, 3, .... (Для простоты остановимся на одномерном случае.) Волновая функция, описывающая состояние, является функцией всех координат х1, х2, х3,... . Запишем ее в виде ψ (x1, х2, x3, ...). Сдвинем теперь систему (влево) на δ. Новая волновая функция

Маленькое изображение
 

Согласно уравнению (18.65),  оператор импульса состояния > (назовем его полным импульсом) равняется

Маленькое изображение
 

Операторы импульса подчиняются тому правилу, что полный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные вещи взаимно согласуются.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.