На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Общее решение для водорода

В уравнении (17.35) мы записали волновые функции атома водорода в виде

Маленькое изображение
 

Эти волновые функции должны быть решениями дифференциального уравнения (17.7). Посмотрим, что это означает. Подставим (17.37) в (17.7); получим

Маленькое изображение
 

Помножим все на r2/Fl и переставим члены; результат будет таков:

Маленькое изображение
 

Левая часть этого уравнения зависит от θ и φ, а от r не зависит. Какое бы значение r мы ни взяли, от этого левая часть не изменится. Значит, тоже должно быть выполнено и для правой части. Хотя в выражении в квадратных скобках там и сям попадаются разные r, все выражение от r зависеть не может, иначе бы не получилось уравнение, которое годится для всех r. Кроме того, как вы видите, эта скобка не зависит ни от θ, ни от φ. Она должна быть постоянным числом. Его величина имеет право зато зависеть от значения / того состояния, которое мы изучаем, поскольку этому состоянию принадлежит функция Fl, поэтому постоянное число мы обозначим Кl. Уравнение (17.35), стало быть, равнозначно двум уравнениям

Маленькое изображение
 

Теперь взглянем на то, что мы сделали. Для каждого состояния, описываемого числами I и m, мы знаем функции Yl,m; тогда из уравнения (17.40) можно определить Kl. Затем, подставив Кl в (17.41), мы получим дифференциальное уравнение для функции Fl (r). Если мы его сможем решить, то все множители, входящие в (17.37), нам станут известны, и мы узнаем ψ (r).
 
Чему же равно Kl? Ну, во-первых, заметьте, что при всех т (входящих в данное I) оно должно быть одним и тем же, поэтому мы вправе выбрать в Yl,m то m, какое нам нравится, и вставить его в (17.40). Пожалуй, проще всего взять Yl,l. Из уравнения (16.24)

Маленькое изображение
 

Матричный элемент Ry (θ) тоже совсем прост;

Маленькое изображение
 

где b — некоторое число. Объединяя их, получаем

Маленькое изображение
 

Подстановка этой функции в (17.40) даст

Маленькое изображение
 

Теперь, когда мы определили Kl, уравнение (17.41) даст нам радиальную функцию Fl (r). Перед нами обычное уравнение Шредингера, у которого угловая часть заменена ее эквивалентом KlFl /r2. Перепишем (17.41) в той форме, в какой мы писали уравнение (17.8):

Маленькое изображение
 

У потенциальной энергии появилась какая-то таинственная добавка. Хотя она появилась на свет после длинной серии математических шагов, тем не менее у нее простое физическое происхождение. Мы беремся рассказать о ее происхождении при помощи полуклассических аргументов. После этого она уже не покажется вам такой таинственной.
 
Представим классическую частицу, вращающуюся вокруг некоторого силового центра. Полная энергия сохраняется и является суммой потенциальной и кинетической энергий

Маленькое изображение
 

В общем случае v разлагается на радиальную компоненту vr и на касательную компоненту   , т. е.

Маленькое изображение
 

Момент количества движения  mr2θ тоже  сохраняется;  пусть он равняется L. Тогда можно написать

Маленькое изображение
 

Если бы момента количества движения не было, у нас осталось бы только два первых члена. Добавление момента количества движения L изменяет энергию как раз так, как если бы к потенциальной энергии добавился член L2/2mr2. Но он почти точно совпадает с добавкой (17.46). Единственная разница в том, что вместо ожидаемого числителя l2h2(этого можно было бы ожидать) появляется комбинация I (l+1) h2. Но мы еще раньше видели [например, в гл. 34, § 7 (вып. 7)], что это обычная замена, к которой всегда приходится прибегать, если хотят, чтобы квази-классические рассуждения совпали с правильным квантовомеханическим расчетом. Поэтому новый член можно понимать как своего рода «потенциал», определяющий «центробежную силу» и возникающий в уравнениях радиального движения вращающейся системы [см. гл. 12, § 5 (вып. 1)].
 
Теперь мы уже можем решить уравнение (17.46) относительно Fl (r). Оно очень похоже на (17.8), так что прибегнем к той же технике. Все повторяется вплоть до уравнения (17.19), в котором появится добавочный член

Маленькое изображение
 

Его можно записать еще и так:

Маленькое изображение
 

(Мы выделили первый член, а затем текущий индекс k сдвинули на единицу.) Вместо (17.20) появится

Маленькое изображение
 

Поскольку член с ρ1 только один, то он должен обратиться в нуль. Коэффициент а1 должен быть равен нулю (если только I не равно нулю, но тогда мы приходим к нашему прежнему решению). А когда все квадратные скобки при любых k обратятся в нуль, то и все следующие члены станут равны нулю. Из-за этого условие (17.21) переходит в

Маленькое изображение
 

Это единственное существенное видоизменение по сравнению со сферически симметричным случаем.
 
Как и раньше, ряд должен оборваться, если мы хотим, чтобы решения представляли связанные электроны. Если αn=1, то ряд оборвется на k=n. Условие на α получается таким же: α должно быть равно 1/n, где пn — целое число. Однако (17.50) приводит и к новому ограничению. Индекс k не может быть равен /, в противном случае знаменатель обратится в нуль, а аl+1 — в бесконечность. Иначе говоря, поскольку а1=0, то (17.50) подразумевает, что все последовательные ak обращаются в нуль, пока мы не придем к аl+1, которое может быть и не нулем. Это означает, что k должно начинаться с l+1 и кончаться на n.
 
Окончательный итог таков: при любом I имеется набор возможных решений, которые мы обозначим Fn,l, где n>l+1. Каждое решение обладает энергией

Маленькое изображение
 

Волновая функция состояния с такой энергией и с угловыми квантовыми числами / и m имеет вид

Маленькое изображение
 

где

Маленькое изображение
 

Коэффициенты ak получаются из (17.50). Наконец-то в наших руках полное описание состояний атома водорода.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.