На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Добавление 1. Вывод матрицы поворота

Для тех, кто хотел бы разобраться в этом поподробнее, мы вычислим сейчас общую матрицу поворота для системы со спином (полным моментом количества движения) j. В расчете общего случая на самом деле большой необходимости нет; важно понять идею, а все результаты вы сможете найти в таблицах, которые приводятся во многих книжках. Но, с другой стороны, вы зашли уже так далеко, что у вас, естественно, может возникнуть желание убедиться, что вы и впрямь в состоянии понять даже столь сложные формулы квантовой механики, как (16.35).
 
Расширим рассуждения § 4 на систему со спином j, которую будем считать составленной из 2j объектов со спином 1/2. Состояние с m=j имело бы вид | + + +...+> (с j плюсами). Для m=j — 1 было бы 2j членов типа | + + . . . + + —>, | + + . . . + — + > и т. д. Рассмотрим общий случай, когда имеется r плюсов и s минусов, причем r+s=2j. При повороте вокруг оси z от каждого из r плюсов появится множитель е+¡φ/2. В итоге фаза изменится на i (r/2 — s/2) φ. Мы видим, что

Маленькое изображение
 

Как и в случае J=3/2, каждое состояние с определенным т должно быть суммой всех состояний с одними и теми же r и s, взятых со знаком плюс, т. е. состояний, отвечающих всевозможным перестановкам с r  плюсами и s минусами. Мы считаем, что вам известно, что всего таких сочетаний есть (r+s)!/r!s!. Чтобы нормировать каждое состояние, надо эту сумму разделить на корень квадратный из этого числа. Можно написать

Маленькое изображение
 

Введём еще новые обозначения, они нам помогут в счете. Ну а поскольку мы уж определили состояния при помощи (16.60), то два числа r и s определяют состояние ничуть не хуже, чем j и т. Мы легче проследим за выкладками, если обозначим

Маленькое изображение
 

Далее, (16.60) мы запишем, пользуясь специальным обозначением

Маленькое изображение
 

Обратите внимание, что показатель степени в общем множителе мы изменили на +1/2. Это оттого, что внутри фигурных скобок в (16.60) стоит как раз N=(r+s)!/r!s! слагаемых. Если сопоставить (16.63) с (16.60), то ясно, что

Маленькое изображение
 

где N — количество различных слагаемых в скобках. Эти обозначения удобны тем, что каждый раз при повороте все знаки плюс вносят один и тот же множитель, так что в итоге он получается в r-й степени. Точно так же все знаки минус дадут некоторый множитель в s-й степени, в каком бы порядке эти знаки ни стояли.
 
Теперь положим, что мы повернули нашу систему вокруг оси у на угол θ. Нас интересует R (θ) | rs>. Оператор R (θ), действуя на каждый | + >, дает

Маленькое изображение
 

где  С = cos θ/2 и S = sin θ/2.  Когда  же R (θ) действует  на | —>, это приводит к

Маленькое изображение
 

Так что искомое выражение равно

Маленькое изображение
 

Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. Появятся члены со всеми степенями |+> от нуля до r+s. Посмотрим, какие члены дадут r′-ю степень |+>. Они всегда будут сопровождаться множителем типа |—>s′, где s′=2j— r′. Соберем их вместе. Получится сумма членов типа |+>r′ | —>s′ с численными коэффициентами Аr, куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями С и S. Уравнение (16.65) тогда будет выглядеть так:

Маленькое изображение
 

Теперь разделим каждое Аr′ на множитель [(r+s)!/r!s!]1/2 и обозначим частное через Вr′. Тогда (16.66) превратится в

Маленькое изображение
 

[Можно просто сказать, что требование, чтобы (16.67) совпадало с (16.65), определяет Вr′]
 
Если так определить Вr′, то оставшиеся множители в правой части (16.67) будут как раз состояниями  |T′S′>.   Итак, имеем

Маленькое изображение
 

где s′ всегда равняется r+s — r′. А это, конечно, означает, что коэффициенты Вr′ и есть искомые матричные элементы

Маленькое изображение
 

Теперь, чтобы найти  Вr′,  остается  немного: лишь пробиться через алгебру.
 
Сравнивая (16.67) с (16.65) и вспоминая, что r′+s′ = r+s, мы видим, что Вr′ — это просто коэффициент при ar′bs′ в выражении

Маленькое изображение
 

Осталась лишь нудная работа разложить скобки по биному Ньютона и собрать члены с данными степенями а и b. Если вы все это проделаете, то увидите, что коэффициент при ar′bs′ в (16.70) имеет вид

Маленькое изображение
 

Сумма берется по всем целым k, при которых аргументы факториалов больше или в крайнем случае равны нулю. Это выражение и есть искомый матричный элемент.
 
В конце надо вернуться к нашим первоначальным обозначениям j, т и т′, пользуясь формулами

Маленькое изображение
 

Проделав эти подстановки, получим уравнение (16.34) из § 4.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.