На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Состояния с определенным импульсом

Пусть у нас имеется электрон в состоянии | ψ>, описываемом амплитудой вероятности <x | ψ> = ψ (х). Мы знаем, что ψ (х) обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале dx близ точки х попросту равна

Маленькое изображение
 

Что можно сказать об импульсе этого электрона? Можно спросить, какова вероятность того, что импульс этого электрона равен р? Начнем с расчета амплитуды того, что состояние | ψ> присутствует в другом состоянии | имп. р>, которое мы определим как состояние с определенным импульсом р. Эту амплитуду можно найти, применяя наше основное уравнение для разложения амплитуд (14.20). В терминах состояний | имп. р>

Маленькое изображение
 

А вероятность того, что у электрона будет обнаружен импульс р, выразится квадратом абсолютной величины этой амплитуды. Но опять возникает тот же вопрос насчет нормирования. Ведь вообще можно говорить только о вероятности обнаружить электрон с импульсом в узкой области dp близ значения р. Вероятность того, что импульс в точности равен р, равна нулю (разве что состояние | ψ> окажется состоянием с определенным импульсом). Только вероятность обнаружить импульс в интервале dp возле значения р может оказаться конечной. Нормировку можно делать по-разному. Мы выберем тот способ нормировки, который нам кажется особенно удобным, хотя вам сейчас это может так и не показаться.
 
Примем такую нормировку, чтобы вероятность была связана с амплитудой равенством

Маленькое изображение
 

Это определение дает нам нормировку амплитуды (имп. р \ ху. Амплитуда <имп. р | х>, естественно, комплексно сопряжена с амплитудой | имп. p>, а последнюю мы писали в (14.15). При нашей нормировке оказывается, что коэффициент пропорциональности перед экспонентой как раз равен единице, т. е.

Маленькое изображение
 

Тогда (14.21) превращается в

Маленькое изображение
 

Вместе с (14.22) это уравнение позволяет находить распределение импульсов для любого состояния  |ψ>.
 
Возьмем частный пример: скажем, когда электрон расположен в некоторой области вокруг х = 0. Пусть мы взяли волновую функцию вида

Маленькое изображение
 

Распределение вероятности иметь то или иное значение х для такой волновой функции дается ее квадратом

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеФункция плотности вероятности Р (х) — это кривая Гаусса, показанная на фиг. 14.1. Большая часть вероятности сосредоточена между х = +σ и х = σ. Мы говорим, что «полуширина» кривой есть σ. (Точнее, σ равняется средней квадратичной координате х, если разброс координат соответствует этому распределению.) Коэффициент К следовало бы выбрать так, чтобы плотность вероятности Р (х) не просто была пропорциональна вероятности (на единицу длины х) обнаружить электрон, но имела бы такой масштаб, чтобы Р (х) Δх равнялось вероятности обнаружить электрон в Δх вблизи х. Коэффициент К, при котором  так и получается, можно найти из требования –∞+∞Р (х) dx = 1, потому что вероятность, обнаружить электрон где попало равна единице. Мы находим, что К = (2πσ2)–1/4.
 
Теперь  найдем  распределение по импульсу. Пусть φ (р) есть амплитуда того, что импульс электрона окажется равным р:

Маленькое изображение
 

Подстановка (14.25) в (14.24) дает

Маленькое изображение
 

также переписать в форме

Маленькое изображение
 

Сделаем теперь замену и = х + 2ipσ2/h; интеграл обратится в

Маленькое изображение
 

Математикам, вероятно, не понравился бы такой путь расчета, однако итог, несмотря на это, верен:

Маленькое изображение
 

Мы пришли к интересному результату — распределение амплитуд по р имеет в точности ту же математическую форму, как и распределение амплитуд по х, только ширина кривой Гаусса иная. Можно записать это так:

Маленькое изображение
 

где полуширина η распределения по р связана с полушириной σ распределения по х формулой

Маленькое изображение
 

Наш результат утверждает: если сделать распределение по х очень узким, взяв σ малым, то η станет большим и распределение по р сильно расползется. Или наоборот, если распределение по р узко, то оно соответствует широкому распределению по х. Мы можем, если угодно, рассматривать η и σ как некую меру неопределенности локализации импульса и координаты электрона в изучаемом нами состоянии. Если обозначить их соответственно Δр и Δх, то (14.33) обратится в

Маленькое изображение
 

Интересно вот что: можно доказать, что при всяком ином виде распределения по х или по р произведение ΔрΔх не может стать меньше, чем у нас получилось. Гауссово распределение дает наименьшее возможное значение произведения средних квадратичных. В общем случае

Маленькое изображение
 

Это количественная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга, который качественно нам уже давно известен. Мы обычно делали приближенное утверждение: наименьшее значение произведения ΔрΔх — это число порядка h.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.