На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Две спиновые волны

Маленькое изображениеТеперь мы хотели бы выяснить, что происходит, когда имеется пара перевернутых спинов. Опять начнем с выбора системы базисных состояний. Выберем такие состояния, когда спины перевернуты в каких-то двух местах (так, как на фиг. 13.2). Эти состояния можно, скажем, отмечать х-координатами тех двух узлов решетки, в которых оказались электроны с перевернутым спином. То, что на рисунке, можно обозначить 2, х5>. В общем случае базисные состояния будут n, хт> — дважды бесконечная совокупность! При таком способе описания состояние | x4, х9> и состояние | х9, x4> совпадают, потому что каждое из них просто говорит, что в точках 4 и 9 спин перевернут; порядок их не имеет значения. Не имзет также смысла состояние | x4, x4 > — такого просто быть не может. Любое состояние |ψ> мы можем описать, задав амплитуды того, что оно обнаружится в одном из базисных состояний.
 
Итак, Cm,n = т, хn | ψ> теперь означает амплитуду того, что система в состоянии | ψ> окажется в состоянии, когда у электронов, стоящих вблизи m-го и n-го атомов, спины смотрят вниз. Сложности, которые теперь возникнут, будут связаны не с усложнением идей,— это будут просто усложнения в бухгалтерии. (Одна из сложностей квантовой механики как раз и состоит в громоздкости бухгалтерии. Чем больше спинов перевернется, тем сложнее станут обозначения, тем больше будет индексов, тем страшнее будут выглядеть уравнения; но сами идеи вовсе не обязательно должны усложниться.)
 
Уравнения движения спиновой системы — это дифференциальные уравнения для Сn,т:

Маленькое изображение
 

Пусть нам опять нужно найти стационарные состояния. Как обычно, производные по времени обратятся в Е, умноженное на амплитуду, a Cm,n заменятся коэффициентами ат,n. Затем надо аккуратно рассчитать влияние H на состояние с перевернутыми спинами т и n. Это сделать нетрудно. Представьте на минуту, что т далеко от n, так что не нужно думать, что будет, если ... и т. д. Обменная операция, производимая в точке хn, передвинет перевернутый спин либо к (n + 1)-му, либо к (n — 1)-му атому, так что имеется ненулевая амплитуда того, что теперешнее состояние получилось из состояния | хт, хn+1>, и амплитуда того, что оно произошло из состояния т,хn–1>. Но передвинуться мог и второй спин, так что не исключена и какая-то амплитуда того, что Cm,n питается от Сm+1,n  или от Cm–1,n. Все эти эффекты должны быть одинаковы. Окончательный вид гамильтонова уравнения для Ст,n таков:

Маленькое изображение
 

Это уравнение пригодно всегда, за исключением двух случаев. При т = n уравнения вообще нет, а при т = n + 1 пара членов в (13.16) должна пропасть. Этими исключениями мы пренебрежем. Мы просто будем игнорировать тот факт, что некоторые из этих уравнений слегка меняются. Ведь как-никак кристалл считается бесконечным и слагаемых в гамильтониане бесчисленно много; пренебрежение некоторым их числом вряд ли сильно на чем-то скажется. Итак, в первом грубом приближении давайте позабудем об изменениях уравнений. Иными словами, допустим, что (13.16) верно при всех т и n, даже когда т и n стоят по соседству. Это самое существенное в нашем приближении.
 
Теперь уже решение отыскать нетрудно. Мы немедленно получаем

Маленькое изображение
 

Поразмыслим минутку о том, что было бы, если бы у нас были две независимые, отдельные спиновые волны (как в предыдущем параграфе), соответствующие k = k1 и k = k2; их энергии из  (13.12) имели бы вид

Маленькое изображение
 

Заметьте, что энергия Е в (13.19) является как раз их суммой:

Маленькое изображение
 

Иными словами, наше решение можно толковать следующим образом. Имеются две частицы, т. е. пара спиновых волн, одна из которых обладает импульсом, описываемым числом k1 а другая — числом k2; энергия системы равна сумме энергий этих двух объектов. Обе частицы действуют совершенно независимо. Вот и все, что в этом есть — и ничего больше.
 
Конечно, мы сделали некоторые приближения, но в данный момент мы не будем обсуждать точность нашего ответа. Вы, однако, чувствуете, что в кристаллах разумного размера с миллиардами атомов и, стало быть, с миллиардами слагаемых в гамильтониане большой ошибки от пренебрежения немногими слагаемыми не выйдет. Если бы, конечно, перевернутых спинов стало так много, что их плотность была бы заметной, то пришлось бы позаботиться и о поправках.
 
(Интересно, что в случае, когда перевернутых спинов только два, можно написать и точное решение. Но результат особой важности не представляет. Просто интересно, что в этом случае уравнения можно решить точно. Решение таково:

Маленькое изображение
 

и с волновыми числами kс и к, связанными с k1 и k2 формулами

Маленькое изображение
 

В этом решении отражено и «взаимодействие» пары спинов. Оно описывает тот факт, что когда спины сближаются, возникает какая-то вероятность их рассеяния. Поведение спинов очень похоже на взаимодействие частиц. Но подробная теория их рассеяния выходит за пределы того, о чем мы здесь собрались говорить.)



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.