На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Электрон в трехмерной решетке

Еще немного о том, как можно применить те же идеи, чтобы понять, что происходит с электроном в трех измерениях. Результаты оказываются очень похожими. Пусть имеется прямоугольная решетка атомов с расстояниями а, b, c в трех направлениях. (Если вам больше по душе кубическая решетка, примите все расстояния равными друг другу.) Предположим также, что амплитуда прыжка к соседу в направлении х есть ¡А х/h; амплитуда прыжка в направлении у есть iAy/h, а амплитуда прыжка в направлении z есть iAz/h. Как же описать базисные состояния? Как и в одномерном случае, одно базисное состояние — это когда электрон находится близ атома с координатами х, у, z, где (х, у, z) — одна из точек решетки. Если выбрать начало координат в одном из атомов, то все зти точки придутся на

Маленькое изображение
 

где nх, ny , nz —три целых числа. Вместо того чтобы ставить при х, у и z их номера, будем просто писать х, у, z, имея в виду, что они принимают лишь такие значения, которые бывают у точек решетки. Итак, базисное состояние изображается символом |электрон в х, у, z>, а амплитуда того, что электрон в некотором состоянии | ψ> окажется в этом базисном состоянии, есть С (х, у, z) = < электрон в х, у, z |ψ>.
 
Как и прежде, амплитуды С (х, у, z) могут меняться во времени. При наших предположениях гамильтоновы уравнения обязаны выглядеть следующим образом:

Маленькое изображение
 

Хоть это и выглядит громоздко, но вы сразу, конечно, пеймете, откуда взялось каждое слагаемое.
 
Опять попробуем найти стационарное состояние, в котором все С меняются со временем одинаково. И снова решение есть экспонента

Маленькое изображение
 

Если вы подставите это в (11.22), то увидите, что оно вполне подойдет, если только энергия Е будет связана с kх, kу и kz следующим образом:

Маленькое изображение
 

Теперь энергия зависит от трех волновых чисел   kх, ky ,kz, которые, кстати, есть компоненты трехмерного вектора k. И действительно, (11.23) можно переписать в векторных обозначениях:

Маленькое изображение
 

Амплитуда меняется как комплексная плоская волна, которая движется в трехмерном пространстве в направлении k с волновым числом k = (kx2 + кy2 + кz2)1/2.
 
Энергия, связываемая с этими стационарными состояниями, зависит от трех компонент к сложным образом, подчиняясь уравнению (11.24). Характер изменения Е зависит от относительных знаков и величин Ах, Аy и Az. Если вся эта тройка положительна и если нас интересуют лишь маленькие k, то зависимость оказывается сравнительно простой.
 
Разлагая косинус, как и раньше [см. (11.16)], мы теперь придем к

Маленькое изображение
 

В простой кубической решетке с расстоянием а между узлами следует ожидать, что и Ах, и Аy , и Az будут все равны друг другу (скажем, равны А), так что получилось бы

Маленькое изображение
 

А это как раз совпадает с (11.16). Повторяя те же рассуждения, что и тогда, мы пришли бы к заключению, что электронный пакет в трех измерениях (составленный путем суперпозиции множества состояний с почти одинаковыми энергиями) также движется на манер классической частицы, обладающей некоторой эффективной массой.
 
В кристалле не с кубической, а с более низкой симметрией (или даже в кубическом кристалле, но таком, в котором состояние электрона около атома несимметрично) три коэффициента А х, Ау и Аz различны. Тогда «эффективная масса» электрона, сосредоточенного в узкой области, зависит от направления его движения. Может, например, оказаться, что у него разная инерция при движении в направлении х и при движении в направлении у. (Детали такого положения вещей иногда описываются с помощью «тензора эффективной массы».)



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.