На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Состояния определенной энергии

Об электроне в решетке мы теперь уже можем узнать очень многое. Для начала попробуем отыскать состояния определенной энергии. Как мы видели в предыдущих главах, это означает, что надо отыскать такой случай, когда все амплитуды меняются с одной частотой, если только они вообще меняются. Мы ищем решение в виде

Маленькое изображение
 

Комплексное число аn говорит нам о том, какова не зависящая от времени часть амплитуды того, что электроны будут обнаружены возле n-го атома. Если это пробное решение подставить для проверки в уравнения (11.4), то получим

Маленькое изображение
 

Перед нами бесконечное число уравнений для бесконечного количества неизвестных аn ! Ситуация тяжелая!
 
Но мы знаем, что надо только взять детерминант... нет, погодите! Детерминанты хороши, когда уравнений два, три или четыре. Но здесь их очень много, даже бесконечно много, и вряд ли от детерминантов будет толк. Нет, лучше попробовать решать эти уравнения прямо. Во-первых, пронумеруем положения атомов; будем считать, что n-й атом находится в хn, а (n+1)-й— в хn + 1. Если расстояние между атомами равно b (как на фиг. 11.1), то хn + 1 = хn+b. Взяв начало координат в атоме номер нуль, можно даже получить хn = nb. Уравнение (11.5) можно тогда переписать в виде

Маленькое изображение
 

а уравнение (11.6) превратится в

Маленькое изображение
 

Пользуясь тем, что хn+1 = хn+b, это выражение можно также записать в  виде

Маленькое изображение
 

Это уравнение немного походит на дифференциальное. Оно говорит, что величина а(х) в точке хn связана с той же физической величиной в соседних точках хn ± b. (Дифференциальное уравнение связывает значения функции в точке с ее значениями в бесконечно близких точках.) Может быть, здесь подойдут методы, которыми мы обычно пользуемся для решения дифференциальных  уравнений?  Попробуем.
 
Решения линейных дифференциальных уравнений с  постоянными коэффициентами всегда могут быть выражены через экспоненты. Попробуем и здесь то же самое; в качестве пробного решения выберем

Маленькое изображение
 

Тогда (11.9) обратится в

Маленькое изображение
 

Сократим на общий множитель е¡kxn; получим

Маленькое изображение
 

Два последних члена равняются cos kb, так что

Маленькое изображение
 

Мы обнаружили, что при любом выборе постоянной k имеется решение, энергия которого дается этим уравнением. В зависимости от k получаются различные возможные энергии, и каждая k соответствует отдельному решению. Решений бесконечно много, но это и не удивительно, ведь мы исходим из бесконечного числа базисных состояний.
 
Посмотрим, каков смысл этих  решений. Для каждой k уравнение (11.10) дает свои а. Тогда амплитуды обращаются в

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениепричем нужно помнить, что энергия Е также зависит от А; в согласии с уравнением (11.13). Множитель eikxn дает пространственную зависимость амплитуд. Амплитуды при переходе от атома к атому колеблются.
 
При этом имейте в виду, что колебания амплитуды в пространстве комплексны, модуль ее вблизи любого атома один и тот же, а фаза (в данный момент) от атома к атому сдвигается на ikb. Чтобы можно было видеть, что происходит, поставим у каждого атома вертикальную черточку, равную вещественной части амплитуды (фиг. 11.2). Огибающая этих вертикалей (показанная штрихованной линией) является, конечно, косинусоидой. Мнимая часть Сn — это тоже колеблющаяся функция, но она сдвинута по фазе на 90°, так что квадрат модуля (сумма квадратов вещественной и мнимой частей) у всех С один и тот же.
 
Итак, выбирая k, мы получаем стационарное состояние с определенной энергией Е. И в каждом таком состоянии электрону одинаково вероятно оказаться около любого из атомов, никаких преимуществ у одного атома перед другим нет. От атома к атому меняется только фаза. Фазы меняются еще и со временем. Из (11.14) следует, что вещественная и мнимая части распространяются по кристаллу, как волны, как вещественная и мнимая части выражения

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеВолна может двигаться либо к положительным, либо к отрицательным х, смотря по тому, какой знак выбран для k.
 
Заметьте, что мы предположили, что поставленное в нашем пробном решении (11.10) число k есть число вещественное. Теперь видно, почему в бесконечной цепочке атомов так и должно быть. Пусть k было бы мнимым числом —ik′. Тогда амплитуды аn менялись бы, как еk′хn, что означало бы, что амплитуда растет все выше и выше, когда х возрастает, или при k отрицательном, когда х становится большим отрицательным числом. Такой вид решения был бы вполне хорош, если бы цепочка атомов на чем-то кончалась, но в бесконечной цепи атомов это не может быть физическим решением. Оно привело бы к бесконечным амплитудам и, стало быть, к бесконечным вероятностям, которые не могут отражать действительного положения вещей. Позже мы встретимся с примером, когда и у мнимых k есть смысл.
 
Соотношение (11.13) между энергией Е и волновым числом k изображено на фиг. 11.3. Как следует из этого рисунка, энергия может меняться от Е0–2А при k = 0 до Е0 + при k=±π/b. График начерчен для положительных А, при отрицательных А кривую пришлось бы перевернуть, но область изменения осталась бы прежней. Существенно то, что в некоторой области, или «полосе» энергий допустимы любые значения энергии; вне полосы энергии быть не может. Из наших предположения следует, что если электрон в кристалле находится в стационарном состоянии, энергия его не сможет оказаться вне этой полосы.
 
Согласно (11.10), меньшие k отвечают более низким энергетическим состояниям Е≈Е02А. Когда k по величине растет (все равно, в положительную или отрицательную сторону), то энергия сперва растет, а потом при k = ±π/b достигает максимума, как показано на фиг. 11.3. Для k, больших, чем π/b, энергия опять начала бы убывать. Но такие k рассматривать не стоит, они не приведут к каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, которые уже появлялись при меньших k. Вот как в этом можно убедиться. Рассмотрим состояние наинизшей энергии, для которого k = 0. Тогда при всех хn коэффициент а (хn) будет один и тот же [см. (11.10)]. Та же самая энергия получилась бы и при k = 2π/b. Тогда из (11.10) следовало бы

Маленькое изображение
 

Но, считая, что начало координат приходится на х0, можно положить хn = nb, и тогда а (хn) превратится в

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениет. е. состояние, описываемое этими а (хn), физически ничем не будет отличаться от состояний при k = 0. Оно не представляет особого решения.
 
В качестве другого примера возьмем k = π/4b. Вещественная часть а (хn) изображена на фиг. 11.4 кривой 1. Если бы k было в семь раз больше (k=7π/4b), то вещественная часть а (хn) менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама косинусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках хn. Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения k во всех хn дают одинаковые амплитуды.
 
Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные решения нашей задачи получатся, если взять k только из некоторой ограниченной области. Мы выберем область от —π/b до +π/b (она показана на фиг. 11.3). В этой области энергия стационарных состояний с ростом абсолютной величины k возрастает.
 
Еще одно побочное замечание о том, с чем было бы забавно повозиться. Представьте, что электрон может не только перепрыгивать к ближайшим соседям с амплитудой iA/h, но имеет еще возможность одним махом перепрыгивать и к следующим за ними соседям с некоторой другой амплитудой iB/h. Вы опять обнаружите, что решение можно искать в форме аn = е¡kxn, этот тип решений является универсальным. Вы также увидите, что стационарные состояния с волновым числом k имеют энергию Е0cos kbcos 2kb. Это означает, что форма кривой Е как функции k не универсальна, а зависит от тех частных допущений, при которых решается задача. Это не обязательно косинусоида, и она даже не обязательно симметрична относительно горизонтальной оси. Но зато всегда верно, что кривая вне интервала (—π/b, π/b) повторяется, так что заботиться о других значениях k не нужно.
 
Посмотрим еще внимательнее на то, что происходит при малых k, когда вариации амплитуд между одним хn и соседним очень маленькие. Будем отсчитывать энергию от такого уровня, чтобы было Е0 = 2A; тогда минимум кривой фиг. 11.3 придется на нуль энергии. Для достаточно малых k можно написать

Маленькое изображение
 

и энергия (11.13) превратится в

Маленькое изображение
 

Получается, что энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа,  описывающего пространственные вариации амплитуд Сn.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.