На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Проекционная матрица для спина 1

Теперь мы хотели бы применить наши знания об атоме водорода к одной специальной задаче. В гл. 3 мы говорили о том, что частица со спином 1, находящаяся в одном из базисных состояний (+, 0, —) по отношению к прибору Штерна — Герлаха с какой-то частной ориентацией (скажем, по отношению к прибору S), будет иметь определенную амплитуду пребывания в одном из трех состояний по отношению к прибору Т, ориентированному в пространстве по-другому. Имеются девять таких амплитуд <jT |¡S>, которые вместе образуют проекционную матрицу. В гл. 3, § 7, мы без доказательства выписали элементы этой матрицы для различных ориентации Т по отношению к S. Теперь мы хотим показать вам один из способов их вывода.
 
В атоме водорода мы с вами отыскали систему со спином 1, составленную из двух частиц со спином 1/2. В гл. 4 мы уже научились преобразовывать амплитуды для спина 1/2. Эти знания можно применить к тому, чтобы получить преобразование для спина 1. Вот как это делается: имеется система (атом водорода с энергией +А) со спином 1. Пусть мы пропустили ее сквозь фильтр S Штерна — Герлаха так, что знаем теперь, что она находится в одном из базисных состояний по отношению к S, скажем в| +Sy. Какова амплитуда того, что она окажется в одном из базисных состояний, скажем | +T>, по отношению к прибору Т? Если вы назовете систему координат прибора S системой х, у, z, то состояние | +S> — это то, что недавно называлось состоянием | + +>. Но представьте, что какой-то ваш приятель провел свою ось z вдоль оси Т. Он свои состояния будет относить к некоторой системе х′ , у, z . Его состояния «вверх» и «вниз» для электрона и протона отличались бы от ваших. Его состояние «плюс — плюс», которое можно записать | + + >, отмечая «штрихованностъ» системы, есть состояние | + Т > частицы со спином 1. А вас интересует <+Т | +S>, что есть просто иной способ записи амплитуды <+ + I + +>.
 
Амплитуду <+ + I + +> можно найти следующим образом. В вашей системе спин электрона из состояния I + +> направлен вверх. Это означает, что у него есть некоторая амплитуда <+′ | + >е оказаться в системе вашего приятеля спином вверх и некоторая амплитуда <–′ | + >е оказаться в этой системе спином вниз. Равным образом, протон в состоянии ++>. У имеет спин вверх в вашей системе и амплитуды <+′ | + >Р и <–′ | + >Р оказаться спином вверх или вниз в «штрихованной» системе. Поскольку мы говорим о двух разных частицах, то амплитуда того, что обе частицы вместе в его системе окажутся спинами вверх, равна произведению амплитуд

Маленькое изображение
 

Мы поставили значки е и р под амплитудами <+′ I +>, чтоб было ясно, что мы делаем. Но обе они — это просто амплитуды преобразований для частицы со спином 1/2, так что на самом деле — это одни и те же числа. Фактически — это те же амплитуды, которые мы в гл. 4 называли <+T | +S> и которые мы привели в табл. 4.1 и 4.2.
 
Но теперь, однако, нам угрожает путаница в обозначениях. Надо уметь различать амплитуду < +Т | +S>  для частицы со спином 1/2 от того, что мы также назвали < +Т | +S>, но для спина 1—между ними нет ничего общего! Надеюсь, вас не очень собьет с толку, если мы на время введем иные обозначения амплитуд для спина 1/2,. Они приведены в табл. 10.4. Для состояний частиц спина 1 мы по-прежнему будем прибегать к обозначениям | +S>, | 0 S> и | — S>.

Маленькое изображение
 

В наших новых обозначениях (10.44) просто превращается в

Маленькое изображение
 

Это как раз амплитуда <+T | +S> для спина 1. Теперь давайте, например, предположим, что у вашего приятеля система координат, т. е. «штрихованный» прибор Т, повернута вокруг вашей оси z на угол φ; тогда из табл. 4.2 получается

Маленькое изображение
 

Значит, из (10.44) амплитуда для спина 1 окажется равной

Маленькое изображение
 

Теперь вам понятно, как мы будем действовать дальше.
 
Но хорошо бы провести выкладки в общем случае для всех состояний. Если протон и электрон в нашей системе (системе S) оба смотрят вверх, то амплитуды того, что в другой системе (системе Т) они будут в одном из четырех возможных состояний, равны

Маленькое изображение
 

Затем мы можем записать состояние | ++ > в виде следующей линейной комбинации:

Маленькое изображение
 

Но теперь мы замечаем, что | +′+′> —это состояние |+Т>, что {| +′–′> + | –′+′>} — это как раз √2,  умноженный на состояние |0T> [см.  (10.41)],   и что  |–′–′>= |–T>. Иными словами,  (10.47) переписывается в виде

Маленькое изображение
 

S |0 S> дело обстоит чуть посложнее, потому что

Маленькое изображение
 

Но каждое из состояний   | +– > и | –+ > можно   выразить через «штрихованные» состояния и подставить в сумму:

Маленькое изображение
 

Теперь у нас есть все необходимые амплитуды. Коэффициенты в (10.48), (10.49) и (10.52) — это матричные элементы <jT I iS>. Сведем их в одну матрицу:

Маленькое изображение
 

Мы выразили преобразование спина 1 через амплитуды а, b, с и d  преобразования спина 1/2.
 
Если, например, система Т повернута но отношению к S на угол α вокруг оси у (см. фиг. 3.6, стр. 64), то амплитуды в табл. 10.4 —это просто матричные элементы Ry (α) в табл. 4.2:

Маленькое изображение
 

Подставив  их  в  (10.53),  получим формулы (3.38), которые приведены на стр. 80 без доказательства.
 
Но что же случилось с состоянием | /V>?! Это система со спином нуль; значит, у нее есть только одно состояние — оно во всех системах координат одно и то же. Можно проверить, что все так и выходит, если взять разность (10.50) и (10.51); получим

Маленькое изображение
 

Но  (ad bc) — это определитель матрицы для спина 1/2он просто равен единице. Получается

Маленькое изображение
 

при любой относительной ориентации двух систем координат.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.