На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Спиновые матрицы как операторы

Раз уж мы занялись математическими обозначениями, то хотелось бы описать еще один способ записи, способ, часто употребляемый из-за своей краткости. Он прямо следует из обозначений, введенных в гл. 6. Если имеется система в состоянии | ψ (t) >. изменяющемся во времени, то можно, как мы это делали в уравнении (6.31), написать амплитуду того, что система при t + Δt оказалась бы в состоянии | ¡>:

Маленькое изображение
 

Матричный элемент <¡|U (t, t+Δt) |j>— это амплитуда того, что базисное состояние |j> превратится в базисное состояние | i > за время Δt. Затем мы определяли Н¡j при  помощи

Маленькое изображение
 

и показывали, что амплитуды  С¡(t) = <¡ | ψ (t)> связаны дифференциальными уравнениями

Маленькое изображение
 

Если амплитуды С¡ записать явно, то это же уравнение будет выглядеть  по-иному:

Маленькое изображение
 

Далее, матричные элементы H¡j — это тоже амплитуды, которые можно записывать в виде < i | Н | j>; наше дифференциальное уравнение выглядит тогда так:

Маленькое изображение
 

Мы видим, что —¡/h <i |H| j> — это амплитуда того, что в физических условиях, описываемых матрицей Н, состояние | j> за время dt «генерирует» состояние | ¡> (Все это неявно подразумевалось в рассуждениях гл. 6, § 4.)
 
Теперь, следуя идеям гл. 6, § 2, мы можем сократить в (9.17) общий «множитель» < i |, поскольку (9.17) справедливо при любом | ¡>, и записать это уравнение просто в виде

Маленькое изображение
 

Или, сделав еще один шаг, убрать к тому же и j и написать

Маленькое изображение
 

В гл. 6 мы указывали, что при такой записи Н в Н | j> или  в Н | ψ> называется оператором. Отныне на операторы мы будем надевать маленькие шапочки (ˆ), чтобы напоминать вам, что это оператор, а не число. Мы будем писать Нˆ | ψ>. Хотя оба уравнения (9.18) и (9.19) означают в точности то же самое, что и (9.15) или (9.17), мы можем думать о них совершенно иначе. Haпримep, уравнение (9.18) можно было бы описывать так: «Производная по времени от сектора состояния |ψ> равняется тому, что получается от действия оператора Гамильтона Hˆ на каждое базисное состояние, умноженному на амплитуду <j | ψ> того, что ψ окажется в состоянии j, и просуммированному по всем j». Или уравнение (9.19) можно описать так: «Производная по времени (умноженная на ih) от состояния | ψ> равняется тому, что вы получите, если подействуете гамильтонианом Нˆ на вектор состояния |ψ>». Это просто сокращенный способ выражения того, что содержится в (9.17), но, как вы потом убедитесь, он может оказаться очень удобным.
 
Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть еще на шаг. Уравнение (9.19) справедливо для всякого состояния |ψ>. Кроме того, левая сторона ihd/dt — это тоже оператор; его действие: «продифференцируй по t и умножь на ih». Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между операторами — операторное уравнение

Маленькое изображение
 

Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и d/dt. Помните, что это уравнение, как и (9.19), не есть утверждение о том, что оператор Нˆ просто та же операция, что и d/dt. Эти уравнения — динамический закон природы (закон движения) для квантовой системы.
 
Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представлениях, продемонстрирует вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние | ψ> можно записать через его проекции на какой-то базис [см. (6.8)]:

Маленькое изображение
 

Как же меняется |ψ > во времени? Продифференцируем его:

Маленькое изображение
 

Но базисные состояния | i > во времени не меняются (по крайней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды <¡| ψ> — это числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) превращается в

Маленькое изображение
 

Во ведь d< i >/dt нам известно—это (9.16); получается, следовательно,

Маленькое изображение
 

А это опять-таки уравнение (9,18).
 
Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов Н¡j просто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» < i | Н | j>, можно представлять себе «матрицу» Н¡j и можно считать его «оператором» Hˆ. Все это одно и то же.
 
Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан через матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как Вх и т. д.), то естественно рассматривать и σx¡j как амплитуду < i | σх | j>, или, для краткости, как оператор σх. Если применить эту идею оператора, то уравнение движения состояния |ψ> в магнитном поле можно написать в виде

Маленькое изображение
 

Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, приходится выражать |ψ> через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:

Маленькое изображение
 

Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора.Чтобы применять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда операторы σˆ подействуют на каждое базисное состояние. Напишем σˆz | +>; это какой-то вектор | ?>, но какой? Что ж, умножим его слева на <+ | и получим

Маленькое изображение
 

(пользуясь табл.  9.1). Итак,  мы знаем, что

Маленькое изображение
 

Теперь умножим   σz |+> слева на < — |.  Получится

Маленькое изображение
 

Существует только  один вектор состояния,  удовлетворяющий в  (9.25)  и  (9.2U);  это  I+->.  Мы. стало быть,  открыли,   что

Маленькое изображение
 

Такого poда рассуждениями можно легко  показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл.9.3.

Маленькое изображение
 

Если у нас есть произведения матриц сигма, то они переходят в произведения операторов. Когда два оператора стоят рядом в виде произведения, то сперва приступает к операции тот оператор, который стоит правее. Скажем, под σxσy|+> надо понимать σхy |+>).  Из табл.  9.3 получаем σy |+> = ¡ | – >, так   что

Маленькое изображение
 

Числа (как. например, ¡) просто проходят сквозь операторы (операторы действуют только на векторы состояний);значит, 14,28) перейдет в

Маленькое изображение
 

Если сделать то же самое с σх σy| —>. то получится

Маленькое изображение
 

Если взглянуть на табл. 9.3, то видно, что σхσy, действуя на |+> или | —>, даст в точности  то же, что получается, если просто подействовать оператором σz и умножить на — ¡. Поэтому можно сказать, что операция σхσy совпадает с операцией iσz, и записать это утверждение в виде операторного уравнения

Маленькое изображение
 

Убедитесь, что это уравнение совпадает с одним из наших матричных уравнений табл. 9.2. Итак, мы опять видим соответствие между матричной и операторной точкой зрения. Каждое из уравнений в табл. 9.2 может поэтому рассматриваться и как уравнение относительно операторов сигма. Можно проверить, что они действительно следуют из табл. 9.3. Работая с этими вещами, лучше не следить за тем, являются ли величины типа σ или Н операторам, или матрицами. Чем их ни считай, уравнения выйдут одни и те же, так что табл. 9.2 можно при желании относить то к операторам сигма, то к матрицам сигма.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.