На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Вращающийся электрон в магнитном поле

Пример первый: пусть сначала имеется постоянное ноле в направлении z. Ему соответствуют два стационарных состояния с энергиями ±μBz. Добавим небольшое поле в направлении х. Тогда уравнения получатся такими же, как в нашей старой задаче о двух состояниях. Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщепляются. Пусть, далее, х-компонента поля начнет меняться во времени, скажем, как cos ωt. Тогда уравнения станут такими, как для молекулы  аммиака в колеблющемся электрическом поле (см. гл. 7). И тем же способом, что и прежде, вы можете рассчитать процесс во всех деталях. При этом вы увидите, что колеблющееся поле приводит к переходам от + z-состояния к  —z-состоянию я обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотой, близкой к резонансной, ω0=2μBz/h. Это приводит к квантовомеханической теории явлений магнитного резонанса, описанной нами в гл. 35 (вып. 7).

Маленькое изображениеМожно еще сделать мазер, в котором используется система со спином 1/2. Прибор Штерна — Герлаха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении + z, и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодействуя с магнитным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.
 
Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле В, направление которого характеризуется полярным углом θ и азимутальным углом φ (фиг. 8.10). Допустим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по нолю. Чему равны амплитуды С1 и С2 для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона | ψ>, мы хотим написать

Маленькое изображение
 

а | 1> и | 2> обозначают то же самое, что раньше обозначалось | + > и | –> (по отношению к выбранной нами оси z).
 
Ответ на этот вонрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон находится в стационарном состоянии с энергией ЕI=μВ. Поэтому и С1, и С2 должны изменяться как е –iEII/h  [см.. уравнение (7.18)] ; и их коэффициенты а1 и а2 даются формулой (8.5):

Маленькое изображение
 

Вдобавок а1 и а2 должны быть нормированы так, чтобы было | а1 |2 + | a2 |2 =1. Величины Н11 и H12 мы можем взять из (8.22), используя равенства

Маленькое изображение
 

Кстати, скобка во втором уравнении есть просто е–¡φ, так что проще писать

Маленькое изображение
 

Подставляя  эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на —μB, находим

Маленькое изображение
 

Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и a1 и а2. Сделать это нетрудно, но мы сократим путь, прибегнув к одному трюку. Известно, что 1—cosθ = 2sin2 (θ/2) и sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2). Значит, (8.27) совпадает с

Маленькое изображение
 

Один из ответов, следовательно, таков:

Маленькое изображение
 

Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию

Маленькое изображение
 

Вы знаете, что умножение а1 и a2 на произвольный фазовый множитель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на e¡φ/2. Принято писать так:

Маленькое изображение
 

Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а1 и а2 — это амплитуды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (по отношению к оси z), если известно, что его спин направлен вдоль оси (θ, φ). [Амплитуды С1 и С2 равны просто а1 и a2, умноженным на   e–¡EIth.]
 
Заметьте теперь занятную вещь. Напряженность В магнитного поля нигде в (8.30) не появляется. Тот же результат, разумеется, получится в пределе, если поле В устремить к нулю. Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином 1/2, подобные проекционный амплитудам для частиц со спином 1. приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином 1/2 амплитуды проникновения через тот или иной фильтр Штерна — Герлаха.
 
Пусть |+z> представляет состояние со спином, направленным по оси z вверх, а | – z> — состояние со спином вниз. Если | +z′> представляет состояние со спином, направленным вверх по оси z′, образующей с осью z углы θ и φ, то в обозначениях гл. 3 мы имеем

Маленькое изображение
 

Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто геометрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)]. (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)
 
Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. "Сперва имеется электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении z, а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации | ψ> = |1> C1+ |2> C2. Но в нашей задаче состояния с определенной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями | 1> и |2>. Значит, C1 и С2 меняются только по фазе. Мы знаем, что

Маленькое изображение
 

Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенное направление. Это означает, что вначале С1 и С2 были двумя числами, определяемыми формулами (8.30). Переждав Т секунд, новые C1 и C2 мы получим из прежних умножением соответственно на eiμBzT/ h e–iμBzT/ h. Что это будут за состояния? Узнать это легко, ведь это все равно, что изменить угол φ, вычтя из него BzT/h, и не трогать  угол θ.  
Это значит, что к концу интервала времени Т состояние |ψ > будет представлять электрон, выстроенный в направлении, отличающемся от первоначального только поворотом вокруг оси z на угол Δφ=2μВzT/h. Раз этот угол пропорционален Т, то можно говорить, что направление спина прецессирует вокруг оси z с угловой скоростью 2μВz/h. Этот результат мы уже получали раньше несколько раз, но не так полно и строго. Теперь мы получили полное и точное квантовомеханическое описание прецессии атомных магнитов.
 
Любопытно, что математические идеи, которые мы только что применили к электрону, вращающемуся в магнитном поле, применимы и для любой системы с двумя состояниями. Это означает, что, проведя математическую аналогию с вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуровневой системы. Сперва вы сдвигаете энергию так, чтобы 11+ Н22) было равно нулю (так что Н11= Н22). И тогда любая задача о такой системе формально совпадет с задачей об электроне в магнитном поле. Вам нужно будет только отождествить —μВz с H11, а —μ(Вх iBy ) с H12. И неважно, какая физика там была первоначально — молекула ли аммиака или что другое, — вы можете перевести ее на язык соответствующей задачи об электроне. Стало быть, если мы в состоянии решить в общем случае задачу об электроне, мы уже решили все задачи о двух состояниях.

Маленькое изображениеА общее решение для электронов у нас есть! Пусть вначале электрон обладает определенным состоянием, в котором спин направлен вверх по некоторому направлению, а магнитное поле В — в какую-то другую сторону. Вращайте просто направление спина вокруг оси В с векторной угловой скоростью ω (t), равной некоторой константе, умноженной на вектор В (а именно ω= 2μВ/h). Если В меняется со временем, двигайте по-прежнему ось вращения  так,  чтобы  она оставалась параллельной В, и изменяйте скорость вращения так, чтобы она все время была пропорциональна напряженности В (фиг. 8.11). Если все время это делать, вы остановитесь на какой-то конечной ориентации спиновой оси, и амплитуды С1 и С2 получатся просто как ее проекции [при помощи (8.30)] на вашу систему координат.
 
Вы видите, что задача эта чисто геометрическая: надо заметить, где закончились все ваши вращения. Хотя сразу видно, что для этого требуется, но эту геометрическую задачу (отыскание окончательного итога вращений с переменным вектором угловой скорости) нелегко в общем случае решить явно. Во всяком случае, мы в принципе видим общее решение любой задачи для двух состояний. В следующей главе мы глубже исследуем математическую технику обращения с частицами спина 1/2 и, следовательно, обращения с системами, обладающими двумя состояниями, в общем случае.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.