На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Гамильтониан частицы со спином 1/2 в магнитном поле

Обратимся теперь еще к одной системе с двумя состояниями. На этот раз нашим объектом будет частица со спином 1/2. Кое-что из того, что мы намерены сказать, затрагивалось уже в предыдущих главах, но повторение поможет нам немного прояснить кое-какие темные места. Покоящийся электрон мы можем считать тоже системой с двумя состояниями. Хотя в этом параграфе мы будем толковать об «электроне», но то, что мы выясним, будет справедливо по отношению ко всякой частице со спином 1/2.
 
Предположим, что в качестве наших базисных состояний | 1> и | 2>  мы выбрали состояния, в которых z-компонента спина электрона равна либо +h/2, либо —h/2. Эти состояния, конечно, те же самые состояния (+) и (—), с которыми мы встречались в прежних главах. Чтобы согласовать эти и прежние обозначения, спиновое состояние | 1> мы будем отмечать «плюсом», а спиновое состояние | 2> — «минусом», причем «плюс» и «минус» относятся к моменту количества движения в направления z.
 
Всякое мыслимое состояние |ψ> электрона можно описать уравнением (8.1), задав амплитуду С1 того, что электрон находится в состоянии | 1>, и амплитуду С2 того, что он находится в состоянии | 2>. Для этого нам понадобится гамильтониан нашей системы с двумя состояниями — электрона в магнитном поле. Начнем с частного случая магнитного поля в направлении  z.
 
Пусть вектор В имеет только z-компоненту Вz. Из определения двух базисных состояний (что их спины параллельны и антипараллельны В) мы знаем, что они уже являются стационарными состояниями — состояниями с определенной энергией в магнитном поле. Состояние | 1> соответствует энергии, равной — μBz, а состояние | 2> — энергии +μBz. В атом случае гамильтониан должен быть очень простым, поскольку на С1 — амплитуду оказаться в состоянии | 1>  С2 не влияет и наоборот:

Маленькое изображение
 

В этом частном случае гамильтониан равен

Маленькое изображение
 

Итак, мы знаем, какой вид имеет гамильтониан, когда магнитное поле направлено по z, и знаем еще энергии стационарных состояний.
 
А теперь пусть поле не направлено по z. Каков теперь гамильтониан? Как меняются матричные элементы, когда поле не направлено по z? Мы сделаем предположение, что для членов гамильтониана имеется своего рода принцип суперпозиции. Точнее, мы предположим, что если два магнитных поля налагаются одно на другое, то члены гамильтониана просто складываются: если нам известно Н¡j для поля, состоящего из одной только компоненты Вz, и известно Н¡j для одной только Вх, то Н¡j для поля с компонентами Вz, Вх получится простым сложением. Это бесспорно верно, если рассматриваются только поля в направлении z: если удвоить Вz, то удвоятся и все Н¡j. Итак, давайте допустим, что H линейно по полю В. Чтобы найти Н¡j для какого угодно магнитного поля, больше ничего и не нужно.
 
Пусть у нас есть постоянное поле В. Мы бы могли провести нашу ось z в направлении поля и обнаружили бы два стационарных состояния с энергиями ±μB. Простой выбор другого направления осей не изменил бы физики дела. Наше описание стационарных состояний стало бы иным, но их энергии по-прежнему были бы ±μB, т. е.

Маленькое изображение
 

Дальше все уже совсем легко. У нас есть формулы для энергий. Нам нужен гамильтониан, линейный по Вх, Вy и Вz, который даст именно такие энергии, если применить нашу общую формулу (8.3). Задача — найти гамильтаниан. Прежде всего заметим, что энергия расщепляется симметрично и ее среднее значение есть нуль. Взглянув на (8.3), мы сразу же увидим, что для этого требуется

Маленькое изображение
 

(Заметьте, что это подтверждается тем, что нам уже известно при Bx=By=0; в этом случае H11 = —μBz и H22 — μBz.) Если теперь приравнять энергии из (8.3) к тому, что нам известно из (8.19), то получится

Маленькое изображение
 

(Мы использовали также тот факт, что H21=H12, Tак что H12H21 может быть записано в виде | Н12 |2.) Опять в частном случае поля в направлении z это даст

Маленькое изображение
 

откуда | H12 | в этом частном случае равно нулю, что означает, что в H12 не может войти член с Bz. (Вы помните, что мы говорили о линейности всех членов по Вх, Вy  и Вz.)
 
Итак, пока мы узнали, что в H11 и Н22 входят члены с Bz, а в H12 u Н21 — нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнению (8.20), написав

Маленькое изображение
 

Оказывается, что никак иначе этого сделать нельзя!
 
«Погодите,— скажете вы,— Н12 по В не линейно. Из (8.21) следует, что Н12= μ√Bx2 +By2 ». He  обязательно. Есть  и другая возможность, которая уже линейна, а именно

Маленькое изображение
 

На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать

Маленькое изображение
 

где δ — произвольная фаза.
 
Какой же знак и какую фазу мы обязаны взять? Оказывается, что можно выбрать любой знак и фазу тоже любую, а физические результаты от этого не изменятся. Так что выбор — эти вопрос соглашения. Еще до нас кто-то решил ставить знак минус и брать e¡δ =–1. Мы можем делать так же и написать

Маленькое изображение
 

(Кстати,  эти соглашения связаны и согласуются с тем произволом в выборе  фаз,  который мы  использовали в гл. 4.) Полный гамильтониан для электрона в произвольном магнитном поле, следовательно,  равен

Маленькое изображение
  

А уравнения для амплитуд C1 и C2 таковы:

Маленькое изображение
 

Итак, мы открыли «уравнения движения спиновых состояний» электрона в магнитном поле. Мы угадали их, пользуясь некоторыми физическими аргументами, но истинная проверка всякого гамильтониана заключается в том, что он обязан давать предсказания, согласующиеся с экспериментом. Из всех сделанных проверок следует, что эти уравнения правильны. Более того, хотя все наши рассуждения относились к постоянному полю, написанный нами гамильтониан правилен и тогда, когда магнитные поля меняются со временем. Значит, мы теперь можем применять уравнения (8.23) для решения всевозможных интересных задач.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.