На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Состояния молекулы аммиака

В этой главе мы хотим обсудить применение квантовой  механики в одном практическом устройстве — в аммиачном мазере.  Вас может удивить,  отчего  это  мы бросаем на полпути наше изложение формального  аппарата квантовой механики и обращаемся к частной задаче. Но позже вы увидите, что многие черты этой частной  задачи сплошь и  рядом  встречаются и в общей  теории  квантовой  механики, так что детальное изучение задачи многому нас  научит. Аммиачный мазер — это устройство для генерирования электромагнитных волн. Его действие основано на свойствах молекулы аммиака, о которых вкратце говорилось в предыдущей главе. Поэтому сначала мы подведем итоги тому, что нам уже известно.

Маленькое изображениеМолекула аммиака имеет много состояний. Но мы будем считать ее системой с двумя состояниями (двухуровневой); сейчас нас интересует лишь то, что бывает, когда молекула находится в любом заданном состоянии вращения или поступательного движения. Физическую модель этих двух состояний можно наглядно представить себе следующим образом. Если вращать молекулу аммиака вокруг оси, проведенной через атом азота перпендикулярно плоскости атомов водорода, как показано на фиг. 7.1, мы обнаружим, что существуют два сорта состояний, которые не переходят друг в друга при таких поворотах и отличаются положением атома азота. Азот может быть либо по одну сторону плоскости атомов водорода, либо по другую. Эти два состояния мы обозначаем |1> и |2>. Их мы выберем в качестве совокупности базисных состояний в нашем анализе поведения молекулы аммиака.
 
В системе с двумя базисными состояниями любое состояние |ψ> системы всегда может быть описано линейной комбинацией двух базисных состояний; это значит, что существует определенная амплитуда С1 быть в одном базисном состоянии и амплитуда С2 быть в другом. Вектор состояния |ψ> можно записать в виде

Маленькое изображение
 

Эта пара амплитуд меняется со временем согласно нашим гамильтоновым уравнениям — уравнениям (6.43). Используя симметрию двух состояний молекулы аммиака, мы полагаем H11=H22=E0 и H12= H21= –A  и получаем такое решение [см. (6.50) и (6.51)] :

Маленькое изображение
 

Кинем теперь на эти решения более внимательный взгляд. Пусть сперва молекула была поставлена в состояние ΙΙ>, для которого коэффициент b был равен нулю. Тогда при t=0 амплитуды оказаться в состояниях |1> и |2> одинаковы и останутся такими все время. Их фазы обе меняются во времени одинаково, с частотой 0A)/h. И точно так же, если бы мы поставили молекулу в состояние  Ι>  для   которого  а=0, амплитуда C2 равнялась бы С1 с минусом, и это соотношение сохранилось бы навсегда — обе амплитуды менялись бы теперь во времени с частотой 0+A)/h. Это все состояния, для которых связь между C1 и С2 не зависит от времени; других возможностей нет.
 
Мы нашли два частных решения, в которых амплитуды не меняются по величине и, более того, фазы меняются с одинаковой частотой. Это стационарные состояния по определению, данному в гл. 5. § 1, т. е. состояния с определенной энергией. Состояние ΙΙ> обладает энергией ЕΙΙ0А, а состояние Ι> — энергией EΙ=E0 +A. Кроме этих, никаких стационарных состояний не существует, т. е. мы обнаруживаем, что у молекулы есть два уровня энергии, отличающиеся на 2А. (Подразумеваются, конечно, два уровня энергии для заданного состояния колебания и вращения, о которых говорилось в наших исходных допущениях.)
 
Если бы азот не мог перескакивать вверх или вниз, нам пришлось бы принять А равным нулю, и оба энергетических уровня (с энергией Е0) налезли бы один на другой. Истинные уровни не таковы; их среднее значение Е0, но они разведены на ±А, т. е. промежуток между энергиями двух состояний равен 2A. Поскольку А на самом деле мало, то и разница в энергиях очень мала.
 
Чтобы возбудить электрон внутри атома, требуются довольно высокие анергии, нужны фотоны оптического или ультрафиолетового диапазона. Чтобы возбудить вибрации молекул, требуются инфракрасные фотоны. Если речь идет о возбуждении вращений, различия в энергиях состояний соответствуют фотонам в далекой инфракрасной области. Но разность энергий меньше их всех, меньше инфракрасных энергий, она приходится на микроволновой диапазон. Опытным путем было найдено, что существует пара уровней энергии с промежутком 10-4 эв, что отвечает частоте 24000 Мгц. Это, очевидно, означает, что 2А =hf, где f=24 000 Мгц (отвечает волне длиной 11/4 см). Значит, перед нами молекула с переходами, которые вызывают испускание микроволн, а не свет в обычном смысле. Для дальнейшей работы нам понадобится немного более удобное описание этих двух состояний с определенной энергией. Представим, что мы построили амплитуду СΙΙ из суммы двух чисел С1 и С2:

Маленькое изображение
 

Что бы это могло означать? Очень просто: это амплитуда того, что состояние |Ф> окажется в новом состоянии | ΙΙ>, в котором амплитуды первоначальных базисных состояний равны между собой. Иначе говоря, когда мы пишем СΙΙ= <ΙΙ |Ф>, то мы вправе абстрагироваться в уравнении (7.4) от |Ф>, поскольку оно выполняется при любых Ф, и писать

Маленькое изображение
 

это означает то же самое, что и

Маленькое изображение
 

Амплитуда того, что состояние |ΙΙ> окажется в состоянии |1>, равна

Маленькое изображение
 

а это, конечно, равняется просто единице, поскольку и |1>, и |2> суть базисные состояния. И амплитуда обнаружения состояния |//> в состоянии |2> тоже равна единице, так что у состояния |//> одинаковы амплитуды оказаться в каждом из  базисных состояний  |1)> и  |2>.
 
Но тут всплывает новая трудность. У состояния |//> полная вероятность оказаться то ли в одном базисном состоянии, то ли в другом получается больше единицы. Но это всего лишь означает, что вектор состояния неудачно «отнормирован». Чтобы исправить дело, надо вспомнить, что всегда для любого состояния обязано быть <// | //> = 1. Использовав общее соотношение

Маленькое изображение
 

полагая, что и Ф, и x суть состояние II, и суммируя по базисным состояниям |1> и |2>,  получаем

Маленькое изображение
 

Это даст, как положено, единицу, если мы изменим наше определение СΙΙ  [см. уравнение   (7.4)] и примем

Маленькое изображение
 

Таким же путем можно построить и амплитуду

Маленькое изображение
 

Эта амплитуда есть проекция состояния | Ф> на новое состояние |/>, обладающее амплитудами противоположного знака, для пребывания в состояниях  |1> и |2>. А именно (7.6) означает то же самое,  что и

Маленькое изображение
 

Зачем все это нужно? С какой целью все это делается? Дело в том, что состояния |/> и |//> могут быть приняты за новую совокупность базисных состояний, особенно подходящую для описания стационарных состояний молекулы аммиака. Вы помните, что требования к совокупности базисных состояний были таковы:

Маленькое изображение
 

Мы уже сами сделали так, чтобы было

Маленькое изображение
 

 Из (7.5) и (7.7) легко вывести, что и

Маленькое изображение
 

Амплитуды СΙ= <I | Ф> и СII=<// |Ф> того, что любое состояние | Ф> окажется в одном из наших новых базисных состояний |/> и |//>, обязаны также удовлетворять гамильтонову уравнению вида (6.39). И действительно, если мы просто вычтем друг из друга два уравнения (7.2) и (7.3) и продифференцируем по t, то убедимся,  что

Маленькое изображение
 

А взяв сумму (7.2) и (7.3), увидим

Маленькое изображение
 

Если за базисные состояния взять |/> и |//>,  то гамильтонова матрица очень проста:

Маленькое изображение
 

Заметьте, что каждое из уравнений (7.8) и (7.9) выглядит очень похоже на то, что получалось в гл. 6, § 6, для уравнения системы с одним состоянием. Они дают простую экспоненциальную зависимость от времени, отвечающую определенной энергии. С ростом времени амплитуды пребывания в каждом из состояний ведут себя независимо.
 
Найденные нами раньше стационарные состояния | ψI> и | ψII> тоже являются, конечно, решениями уравнений (7.8) и (7.9). У состояния | ψI> (для которого С1=—С2)

Маленькое изображение
 

А у состояния | ψI/> (для которого С1 = C2)

Маленькое изображение
 

Пусть мы теперь умножили (7.10)  на вектор  состояния  |/ >; тогда получится

Маленькое изображение
 

Вспомним, однако, что |I > </ | = 1; значит, это одно и то же, что сказать

Маленькое изображение
 

Иначе говоря, вектор состояния стационарного состояния |фI> не отличается от вектора состояния базисного состояния | I> ничем, кроме экспоненциального множителя, связанного с энергией состояния. И действительно, при t=0

Маленькое изображение
 

физическая конфигурация у состояния | /> та же самая, что и у стационарного состояния с энергией Е0 +А. Точно так же для второго стационарного состояния получается

Маленькое изображение
 

Состояние |//> — это просто стационарное состояние с энергией Е0–А при t=0. Стало быть, оба наших новых базисных состояния |I > и | II> физически имеют вид состояний с определенной энергией, но с изъятым экспоненциальным временным множителем, так что они могут быть приняты за базисные состояния, не зависящие от времени. (В дальнейшем нам будет удобно не отличать стационарные состояния |ψI > и | ψII> от их базисных состояний |/> и |//>, ведь различаются они только очевидными временными множителями.)
 
Подведем итог. Векторы состояний |/> и |//> — это пара базисных векторов, приспособленных для описания состояний молекулы аммиака с определенной энергией. Они связаны с нашими исходными  базисными  векторами формулами

Маленькое изображение
 

Амплитуды пребывания в |/> и |II> связаны с С1 и С2 формулами

Маленькое изображение
 

Всякое состояние может быть представлено линейной комбинацией |1 > и |2 > (с коэффициентами С1 и С2) или линейной комбинацией базисных состояний с определенной энергией |/> и |II> (с коэффициентами СI и СII ). Итак,

Маленькое изображение
 

Вторая формула дает нам амплитуды обнаружить состояние |Ф> в состоянии с энергией ЕI = Е0или в состоянии с энергией  ЕII0—А.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.