На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Произвольные повороты

Маленькое изображениеТеперь уже понятно, как быть с произвольным поворотом. Во-первых, заметьте, что любая относительная ориентация двух систем координат может быть описана тремя углами (фиг. 4.9). Если есть система осей х′, у′, z′ , ориентированных относительно х, у, z как угодно, то соотношение между ними можно описать тремя углами Эйлера α, β и γ, определяющими три последовательных поворота, которые переводят систему х, у, z в систему х′, у′, z′ . Отправляясь от х, у, z, мы поворачиваем нашу систему на угол β вокруг оси z, перенося ось х на линию х′. Затем мы проводим поворот на угол α вокруг этой временной оси х1, чтобы довести ось z до z′. Наконец, поворот вокруг новой оси z (т. е. вокруг z′) на угол γ переведет ось х1 в х′, а ось у в у′. Мы знаем преобразования для каждого из трех поворотов — они даются формулами  (4.19)  и (4.34).  Комбинируя их в нужном порядке, получаем

Маленькое изображение
 

Итак, начав просто с некоторых предположений о свойствах пространства, мы вывели преобразование амплитуды при любом повороте. Это означает, что если нам известны амплитуды того, что любое состояние частицы со спином 1/2 перейдет в один из двух пучков прибора Штерна — Герлаха S с осями х, у, z, то мы можем подсчитать, какая часть перейдет в каждый пучок в приборе Т с осями x′, у′ и z′. Иначе говоря, если имеется состояние Ψ частицы со спином 1/2, у которого амплитуды пребывания вверху и внизу по отношению к оси z системы координат х, y, z равны С+=<+| Ψ> и С_ = <–|Ψ>, то тем самым мы знаем амплитуды С′+ и С′_ пребывания вверху и внизу по отношению к оси z′ любой другой системы x′, у′ и z′. Четверка коэффициентов в (4.35) — это члены «матрицы преобразования», с помощью которой можно проецировать амплитуды частицы со спином 1/2 в другие системы координат.
 
Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все это работает. Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со спином 1/2 через прибор Штерна — Герлаха, пропускающий только состояние (+z). Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии (+x)? Ось +z — это все равно, что ось +z′ системы, повернутой на 90° вокруг оси у. Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, конечно, можно применить и полное уравнение (4.35). Поскольку С + = 1 и С_ =0, то получится С′+ =1/√ 2. Вероятности— это квадраты модулей этих амплитуд; таким образом, 50% шансов за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние (+x). Если бы мы поинтересовались состоянием (—x), то амплитуда оказалась бы  —1/√ 2, что опять дало бы вероятность 1/2, чего и следовало ожидать из симметрии пространства. Итак, если частица находится в состоянии (+z), то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях (+x) и (   –х). Но фазы противоположны.
 
Ось у тоже без претензий. Частица в состоянии (+z) имеет равные шансы быть в состоянии ( + y) или (—y). Но теперь (согласно формуле для поворота на —90° вокруг оси х) амплитуды суть 1/√ 2 и  –¡/√ 2. В этом случае разница в фазах двух амплитуд уже не 180°, как было для (+х) и (—х), а 90°. В этом-то и проявляется различие между х и у.

Маленькое изображениеВот еще пример. Пусть нам известно, что частица со спином 1/2 находится в состоянии Ψ, поляризованном вверх относительно оси А, определяемой углами θ и φ (фиг. 4.10). Мы хотим знать амплитуду < С+|Ψ > того, что частица относительно оси z окажется в состоянии «вверх», и амплитуду < С_|Ψ > того, что она окажется в состоянии «вниз» относительно той же оси z. Эти амплитуды мы можем найти, вообразив, что А есть ось z′ системы, у которой ось х′ направлена произвольно, скажем лежит в плоскости, образованной А и z. Тогда можно перевести систему А в систему х, у, z тремя поворотами. Во-первых, надо сделать поворот на —π/2 вокруг оси А, что переведет ось x в линию В на рисунке. Затем повернуть на — θ вокруг линии В (вокруг новой оси х′ системы А), чтобы ось А попала ни ось z. И, наконец, повернуть вокруг оси z на угол (π/2—φ).

Маленькое изображение
 

Маленькое изображение
 

Вспоминая, что вначале было только одно состояние (+) по отношению  к  А,  получаем

Маленькое изображение
 

Мы хотели бы напоследок подытожить результаты этой главы в форме, которая окажется полезной для нашей дальнейшей работы. Во-первых, напомним, что наш основной результат (4.35) может быть записан в других обозначениях. Заметьте, что (4.35)— это то же самое, что и (4.4) Иначе говоря, в (4.35) коэффициенты при С+ = <+S |Ψ> и С_ = <–S |Ψ> суть как раз амплитуды <jT |iS> в (4.4), амплитуды того, что частица в состоянии i по отношению к S окажется в состоянии j по отношению к Т (когда ориентация Т по отношению к S дается углами α, β и γ). Мы их также называли RTSji в выражении (4.6). (Чего-чего, а обозначений у нас хватало!) Например, RTS_ + = < –T |S> — это коэффициент при С + в формуле для С′_ , а именно i sin(α/2) exp[ ¡(β—γ)/2] .  Поэтому сводку наших результатов мы можем дать в виде табл. 4.1.
 
Было бы удобно иметь эти амплитуды расписанными для некоторых особо важных случаев. Пусть Rz(φ) — поворот на угол φ вокруг оси z. Так же можно обозначить и соответствующую матрицу поворота (опуская молчаливо подразумеваемые индексы i и j). В том же смысле Rx(φ) и Ry(φ) будут обозначать повороты на угол φ вокруг оси х и оси у.


В табл. 4.2 мы приводим матрицы — таблицы амплитуд <jT |iS>, которые проецируют амплитуды из системы S в систему Т, где Т получается из S указанным поворотом.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.