Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 8 >> Глава 4. Спин одна вторая

Повороты вокруг оси х

Вы, пожалуй, подумаете: «Это становится смешным. Чему же нас теперь будут учить — поворотам на 47° вокруг оси у, потом на 33° вокруг x? Долго ли это будет продолжаться?» Нет, оказывается, я почти все рассказал. Зная только два преобразования — на 90° вокруг оси у и на произвольный угол вокруг оси z (как вы помните, именно с этого мы начали),— мы уже способны производить любые повороты.
 
Для иллюстрации предположим, что нас интересует поворот на угол α вокруг оси х. Мы знаем, как быть с поворотом на угол α вокруг оси z, но нам нужен поворот вокруг оси х. Как его определить? Сперва повернем ось z вниз до оси х, а это есть поворот на +90° вокруг оси у (фиг. 4.8). Затем вокруг оси z′ повернемся на угол α. А потом повернемся на —90° вокруг оси у″. Итог этих трех поворотов тот же самый, что при повороте вокруг оси х на угол α. Таково свойство пространства.
 
(Все эти сочетания поворотов и их результат очень трудно себе представить. Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если бы мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать   подобные вещи.)
 
Во всяком случае, давайте выведем преобразование для поворота на угол α вокруг оси х, пользуясь тем, что нам уже известно. При первом повороте на +90° вокруг оси у амплитуды  следуют закону (4.32). Если повернутые оси обозначить х′, у′ и z′ , то последующий поворот на угол α вокруг оси z′ переводит нас в систему отсчета х″,   у″,   z″, для которой

Последний поворот на —90° вокруг оси у″ переводит нас в систему х′″, у′″, z′″; из (4.33) следует

Сочетая эти два последних преобразования, получаем

Подставляя  сюда вместо С′₊ и С′_ (4.32),   придем к полному преобразованию

А если вспомнить, что

то эти формулы можно записать проще:

Это и есть наше искомое преобразование для поворота вокруг оси х на любой угол α. Оно лишь чуть посложнее остальных.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: