На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Повороты вокруг оси z

Маленькое изображениеТеперь мы уже подготовлены к тому, чтобы отыскать матрицу преобразования Rj¡,связывающую два разных представления. Владея нашим правилом объединения поворотов и нашим предположением, что в пространстве нет предпочтительного направления, мы владеем ключом для отыскания матрицы любого произвольного поворота. Решение здесь только одно. Начнем с преобразования, которое отвечает повороту вокруг оси z. Пусть имеются два прибора S и Т, поставленных друг за другом вдоль одной прямой; оси их параллельны и смотрят из страницы на вас (фиг. 4.4, а). Это их направление мы примем за ось z. Ясно, что если пучок в приборе S идет вверх (к + z), то то же будет и в аппарате Т. Точно так же, если он в S идет вниз, то и в Т он направится вниз.

Маленькое изображениеПоложим, однако, что прибор Т был повернут на какой-то угол, но его ось, как и прежде, параллельна оси прибора S, как на фиг. 4.4, б. Интуитивно хочется сказать, что пучок (+) в S будет по-прежнему переходить в пучок (+) в Т, потому что и поля, и их градиенты характеризуются тем же физическим направлением. И это вполне правильно. Точно так же и пучок (—) в S будет переходить в пучок (—) в Т. Тот же результат применим для любой ориентации Т в плоскости ху прибора S. Что же отсюда следует для связи между С′+ = <+T | ψ>, С′_ = <–T | ψ> и С+ = <+S | ψ>, С_ = <–S | ψ>? Можно подумать, что любой поворот вокруг оси z «системы отсчета» базисных состояний оставляет амплитуды С± пребывания «вверху» и «внизу» теми же, что и раньше, и написать С′+= С+ и С′_= С_. Но это неверно. Все, что можно отсюда заключить,— это, что при таких поворотах вероятности оказаться в «верхнем» пучке приборов S и Т одинаковы, т. е.

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеНо мы не вправе утверждать, что фазы амплитуд, относящихся к прибору Т, не могут в двух различных ориентациях а и б (фиг. 4.4) различаться.
 
Пары приборов, показанных на фиг. 4.4, на самом деле отличаются друг от друга, в чем можно убедиться следующим образом. Предположим, что мы перед прибором S поставили другой, создающий чистое (+x)-состояние. (Ось х направлена на рисунке вниз.) Эти частицы расщеплялись бы в S на пучки (+z) и (—z), но на выходе S (в точке Р1) оба пучка снова соединялись бы и восстанавливали состояние (+ х). Затем то же самое происходило бы в Т. Если бы за Т поставить третий прибор U, ось которого направлена по (+ х), как показано на фиг. 4.5, а, то все частицы пошли бы в пучок (+) прибора U. Теперь представим, что произойдет, если Т и U вместе повернуть на 90°, как показано на фиг. 4.5, б. Прибор Т опять будет пропускать все, что в него поступает, так что частицы, входящие в U, будут в (+ x)-состоянии по отношению к S. Но U теперь анализирует состояние (+y) (по отношению к S), а это совсем не то, что раньше. (Из симметрии следует ожидать, что через него пройдет только половина частиц.)

Маленькое изображениеЧто же могло перемениться? Приборы Т и U по отношению друг к другу расположены одинаково. Могла ли измениться физика просто из-за того, что Т и U иначе ориентированы? Нет, гласит наше первоначальное предположение. Значит, различаться в двух случаях, показанных на фиг. 4.5, должны амплитуды по отношению к Т. То же должно быть, следовательно, и на фиг. 4.4. Частица должна как-то уметь узнавать, что в Рг1 она завернула за угол. Как же она может об этом поведать? Что ж, остается только одно: величины С′+ и С′+ в обоих случаях одинаковы, но могут — а на самом деле должны — обладать разными фазами. Мы приходим к заключению, что С′+ и С+ должны быть связаны формулой

Маленькое изображение
 

где λ и μ — вещественные числа, которые как-то должны быть связаны с углом между S и Т.
 
В данный момент единственное, что мы можем сказать про λ и μ,— это то, что они не могут быть равны друг другу (кроме показанного на фиг. 4.5, а особого случая, когда Т и S ориентированы одинаково). Мы видели, что изменение всех амплитуд на одну и ту же фазу ни к каким физическим следствиям не приводит. По той же причине всегда можно добавить к λ и μ любое постоянное число — это тоже ничего не изменит. Значит, нам представляется возможность выбрать λ и μ равными плюс и минус одному и тому же числу. Всегда можно взять

Маленькое изображение
 

Итак, мы договоримся считать μ = — λ и придем к общему правилу, что поворот прибора, относительно которого ведется отсчет, вокруг оси z на какой-то угол приводит к преобразованию

Маленькое изображение
 

Абсолютные значения одинаковы, а фазы различны. Эти-то фазовые множители и отвечают за различные результаты двух опытов, показанных на фиг. 4.5.
 
Теперь надо узнать закон, связывающий λ с углом между S и Т. Для одного случая ответ известен. Если угол — нуль, то и λ — нуль. Теперь предположим, что фазовый сдвиг λ есть непрерывная функция угла φ между S и Т (см. фиг. 4.4) при φ, стремящемся к нулю. По-видимому, это единственное разумное допущение. Иными словами, если свернуть Т с прямой линии S на малый угол ε, то и λ тоже будет малым числом, скажем тε, где т — некоторый коэффициент. Мы пишем тε, потому что можем доказать, что λ обязано быть пропорционально ε. Если бы мы поставили за T новый прибор Т′, тоже образующий с Т угол ε, а с S тем самым образующий угол 2ε, то по отношению к Т мы бы имели

Маленькое изображение
 

Но мы знаем, что должны были бы получить тот же результат если бы сразу за S поставили Т′!  Значит, когда угол удваивается, то удваивается и фаза. Эти аргументы мы можем, естественно, обобщить и построить любой поворот из последовательных бесконечно малых поворотов. Мы заключаем, что λ пропорционально φ для любого угла φ. Поэтому всегда можно писать λ  =  mφ.
 
Общий полученный нами результат состоит, следовательно, в том, что для Т, повернутого вокруг оси z относительно S на  угол  φ,

Маленькое изображение
 

Для угла φ и для всех поворотов, которые встретятся нам в будущем, мы условимся считать, что положительным поворотом будет поворот правого винта, который ввинчивается в положительном направлении z.
 
Теперь остается узнать, каким должно быть т. Попробуем сперва следующее рассуждение: пусть Т повернулся на 360°; ясно, что тогда он опять очутится под нулем градусов, и мы должны будем иметь С′+ = С+ и С′_= С_, или, что то же самое, e¡m2π= 1. Мы получаем m = 1. Это  рассуждение не годится!
 
Чтобы убедиться в этом, допустим, что Т повернут на 180°. Если  бы  m  было  равно единице,  мы  получили   бы С′+= e¡π  С+= – С+ и C′= e¡π С_ = – С_. Но это просто опять получилось первоначальное состояние. Обе амплитуды попросту умножены на —1; это возвращает нас к исходной физической системе. (Опять случай всеобщей перемены фаз.) Это означает, что если угол между Т и S на фиг. 4.5, б увеличивается на 180°, то система (по отношению к Т) оказывается неотличимой от случая 0° и частицы должны опять проходить через состояние (+) прибора U. Но при 180° состояние (+) прибора U — это состояние (—х) начального прибора S. Так что состояние (+x) станет состоянием (—х). Но мы-то ведь ничего не делали для изменения начального состояния; ответ поэтому ошибочен. Не может быть, чтобы m = 1.
 
Нет, все должно быть иначе: надо, чтобы только поворот на 360° (и ни на какие меньшие углы) воспроизводил то же самое физическое состояние. Это случится при m =1/2. Тогда и только тогда первым углом, воспроизводящим то же самое физическое состояние, будет угол φ = 360° *. При этом будет

Маленькое изображение
 

Очень курьезно вдруг обнаружить, что поворот прибора на 360° приводит к новым амплитудам. Но на самом деле они не новы, потому что одновременная перемена знака ни к какой новой физике не приводит. Если кто-нибудь задумает переменить все знаки у всех амплитуд, подумав, что он повернулся на 360°, то это его дело — физику он получит ту же, прежнюю. Итак, наш окончательный ответ таков: если мы знаем амплитуды С + и С_ для частиц со спином 1/2 по отношению к системе отсчета S и если затем мы используем базисную систему, связанную с Т (Т получается из S поворотом на φ относительно оси z), то новые амплитуды  выражаются через старые  так:

Маленькое изображение
 



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.