На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Состояния с двумя бозе-частицами

Маленькое изображениеТеперь мы хотели бы обсудить интересное следствие из правила сложения для бозе-частиц. Оно касается поведения этих частиц, когда их не одна, а несколько. Начнем с рассмотрения случая рассеяния двух бозе-частиц на двух различных рассеивателях. Нас интересуют не детали механизма рассеяния, а лишь одно: что происходит с рассеянными частицами. Пусть перед нами случай, показанный на фиг. 2.3. Частица а, рассеявшись, оказалась в состоянии 1. Под состоянием мы подразумеваем данное направление и энергию или какие-нибудь другие заданные условия. Частица b рассеялась в состояние 2. Предположим, что состояния 1 и 2 почти одинаковы. (На самом же деле мы хотели бы получить амплитуду того, что две частицы рассеялись в одном и том же направлении или в одно и то же состояние, но лучше будет, если мы сперва подумаем над тем, что произойдет, если состояния будут почти одинаковыми, а затем выведем отсюда, что бывает при их полном совпадении.)
 
Пусть у нас была бы только частица а; тогда у нее была бы определенная амплитуда рассеяния в направлении 1, скажем <1 | а>. А частица b сама по себе обладала бы амплитудой <2 | b> того, что приземление произойдет в направлении 2. Если частицы не тождественны, то амплитуда того, что в одно и то же время произойдут оба рассеяния, равна попросту произведению

Маленькое изображение
 

Вероятность же такого события тогда равна

Маленькое изображение
 

что также равняется

Маленькое изображение
 

сократить запись, мы иногда будем полагать

Маленькое изображение
 

Тогда вероятность двойного рассеяния есть

Маленькое изображение
 

Могло бы также случиться, что частица b рассеялась в направлении 1, а частица а — в направлении 2. Амплитуда такого процесса была бы равна

Маленькое изображение
 

а вероятность такого события равна

Маленькое изображение
 

Представим себе теперь, что имеется пара крошечных счетчиков, которые ловят рассеянные частицы. Вероятность Р2 того, что они засекут сразу обе частицы, равна просто

Маленькое изображение
 

Положим теперь, что направления 1 и 2 очень близки. Будем считать, что а с изменением направления меняется плавно, тогда a1и а2 при сближении направлений 1 и 2 должны приближаться друг к другу. При достаточном сближении амплитуды a1 и а2 сравняются, и можно будет положить а1 = а2 и обозначить каждую из них просто а; точно так же мы положим и b1 = b2 = b. Тогда получим

Маленькое изображение
 

Теперь, однако, предположим, что а и b — тождественные бозе-частицы. Тогда процесс перехода а в состояние 1, а b в состояние 2 нельзя будет отличить от обменного процесса, в котором b переходит в 2, а а — в 1. В этом случае амплитуды двух различных процессов могут интерферировать. Полная амплитуда того, что в каждом из счетчиков появится по частице, равна

Маленькое изображение
 

и вероятность того, что ими будет зарегистрирована пара, дается квадратом модуля этой амплитуды:

Маленькое изображение
 

В итоге выясняется, что вдвое более вероятно обнаружить две идентичные бозе-частицы, рассеянные в одно и то же состояние, по сравнению с расчетом, проводимым в предположении, что частицы различны.
 
Хотя мы считали, что частицы наблюдаются двумя разными счетчиками,— это несущественно. В этом можно убедиться следующим образом. Вообразим себе, что оба направления 1 и 2 привели бы частицы в один и тот же маленький счетчик, который находится на каком-то расстоянии. Мы определим направление 1, говоря, что оно смотрит в элемент поверхности dS1 счетчика. Направление же 2 смотрит в элемент поверхности dS2 счетчика. (Считается, что счетчик представляет собой поверхность, поперечную к линии рассеяния.) Теперь уже нельзя говорить о вероятности того, что частица направится точно в каком-то направлении или в определенную точку пространства. Это невозможно — шанс зарегистрировать любое фиксированное направление равен нулю. Если уж нам хочется точности, то нужно так определить наши амплитуды, чтобы они давали вероятность попадания на единицу площади счетчика. Пусть у нас была бы только одна частица а; она бы имела определенную амплитуду рассеяния в направлении 1. Пусть <1 | а > = а1 определяется как амплитуда того, что а рассеется в единицу площади счетчика, расположенного в направлении 1. Иными словами, мы выбираем масштаб а1 и говорим, что она «нормирована» так, что вероятность того, что а рассеется в элемент площади dS1 равна

Маленькое изображение
 

Если вся площадь нашего счетчика ΔS и мы заставим dS1 странствовать по этой площади, то полная вероятность того, что частица а рассеется в счетчик, будет

Маленькое изображение
 

Как и прежде, мы хотим считать счетчик настолько малым, что амплитуда а1 на его поверхности не очень меняется; значит, a1 будет постоянным числом, и мы обозначим его через а. Тогда вероятность того, что частица а рассеялась куда-то в счетчик, равна

Маленькое изображение
 

Таким же способом мы придем к выводу, что частица b (когда она одна) рассеивается в элемент площади dS2 с вероятностью

Маленькое изображение
 

(Мы говорим dS2, а не dS1 в расчете на то, что позже частицам а и b будет разрешено двигаться в разных направлениях.) Опять положим b2 равным постоянной амплитуде b; тогда вероятность того, что частица b будет зарегистрирована счетчиком, равна

Маленькое изображение
 

Когда же имеются две частицы, то вероятность рассеяния а в dS1 и b в dS2 будет

Маленькое изображение
 

Если нам нужна вероятность того, что обе частицы (и а, и b) попали в счетчик, мы должны будем проинтегрировать dS1 и dS2 по всей площади ΔS; получится

Маленькое изображение
 

Заметим, кстати, что это равно просто ра·рb в точности так, как если бы мы предположили, что частицы а и b действуют независимо друг от друга.
 
Однако, когда две частицы тождественны, имеются две неразличимые возможности для каждой пары элементов поверхности dS1 и dS2. Частица а, попадающая в dS2, и частица b, попадающая в dS1, неотличимы от а в dS1 и от b в dS2, так что амплитуды этих процессов будут интерферировать. (Когда у нас были две различные частицы, то, хотя мы на самом деле не заботились о том, какая из них куда попадает в счетчике, мы все же в принципе могли это узнать; так что интерференции не было. А для тождественных частиц мы и в принципе не можем этого сделать.) Мы должны тогда написать, что вероятность того, что пара частиц очутится в dS1 и dS2, есть

Маленькое изображение
 

Однако сейчас, интегрируя по поверхности счетчика, нужно быть осторожным. Пустив dS1 и dS2 странствовать по всей площади ΔS, мы бы сосчитали каждую часть площади дважды, поскольку в (2.13) входит все, что может случиться  с каждой парой элементов поверхности dS1 и dS2. Но интеграл можно все равно подсчитать, если учесть двукратный счет, разделив результат пополам. Тогда мы получим, что Р2  для тождественных бозе-частиц есть

Маленькое изображение
 

И опять это ровно вдвое больше того, что мы получили в (2.12) для различимых частиц.
 
Если вообразить на мгновение, что мы откуда-то знали, что канал b уже послал свою частицу в своем направлении, то можно сказать, что вероятность того, что вторая частица направится в ту же сторону, вдвое больше того, чего можно было бы ожидать, если бы мы посчитали это событие независимым. Таково уж свойство бозе-частиц, что если есть одна частица в каких-то условиях, то вероятность поставить в те же условия вторую вдвое больше, чем если бы первой там не было. Этот факт часто формулируют так: если уже имеется одна бозе-частица в данном состоянии, то амплитуда того, что туда же, ей на голову, можно будет поместить вторую, в √2 раз больше, чем если бы первой там не было. (Это неподходящий способ формулировать результат с той физической точки зрения, какую мы избрали, но, если это правило последовательно применять, оно все же приводит к верному результату.)





ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.