На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Ссылки
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Комплексные числа и гармоническое движение

Маленькое изображениеМы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая — ординатой. Комплексное число а можно записать в виде а=аr+iai, при такой записи индекс г отмечает действительную часть а, а индекс i — мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число a=x+iy можно записать и так: x+iy = r exp(iθ), где r2 = x2 + y2 = (x + iy)(x—iy) = aa * (а* — это комплексно сопряженное к а число; оно получается из а изменением знака i). Итак, комплексное число можно представить двумя способами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем г и фазовым углем θ. Если заданы rи θ, то х и у равны r osθ и r sinθ, и, наоборот, исходя из числа x+iy, можно найти r=√(х2+y2) и угол θ; tgθ равен у/х (т. е. отношению мнимой и действительной частей).

Чтобы применить комплексные числа к ре-шергаю физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной cosat. Такую силу F=F0 cos ωt можно рассматривать как действительную часть комплексного числа F = F0 exp(iωt), потому что ехр(iωt) =cos ωt + i sin ωt. Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами комплексное число F, разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действительную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» F0exp(iωt), хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части.

Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусои-дальную волну, фаза которой сдвинулась на Δ? Конечно, как действительную часть F0ехр [i(ωt—Δ)]; экспоненту в этом случае можно записать в виде ехр [i(ωt—Δ)]=ехр(iωt) ехр (-iΔ). Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:

Маленькое изображение
 

Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комплексным числом, т. е.

Маленькое изображение
 

Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные числа в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение

Маленькое изображение
 

где F — действующая на осциллятор сила, а х — его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что х и F — комплексные числа. Тогда х состоит из действительной части и умноженной на i мнимой части; то же самое касается и F. Уравнение (23.2) в этом случае означает

Маленькое изображение
 

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная часть х удовлетворяет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих х лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравнение содержало член λх2, то, сделав подстановку xr+ixi, мы получили бы λ(xr+ixi)2, и выделение действительной и мнимой частей привело бы нас к λ(x2r - x2i) и 2iλxrxi. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член —λх2i. Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.

Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осциллятора, т. е. об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения

Маленькое изображение
 

где Feiωt — комплексное число. Конечно, х — тоже комплексное число, но запомним правило: чтобы найти интересующие нас величины, надо взять действительную часть х. Найдем решение (23.3), описывающее вынужденные колебания. О других решениях поговорим потом. Это решение имеет ту же частоту, что и внешняя (приложенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если представить смещение числом х, то модуль его скажет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа — о временной задержке колебания.Воспользуемся теперь замечательным свойством экспоненты: (d/dt)[x exp(iωt)] = iωx exp(iωt). Дифференцируя экспоненциальную функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем. Дифференцируя еще раз, мы снова приписываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для х: каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на iω. (Дифференцирование становится теперь столь же простым, как и умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь же грандиозна, как изобретение логарифмов, которые заменили умножение сложением. Здесь дифференцирование заменяется умножением.) Таким образом, мы получаем уравнение

Маленькое изображение
 

[Мы опустили общий множитель eiωt.] Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение

Маленькое изображение
 

поскольку (iω)2 =—ω2. Решение можно несколько упростить, подставив k/m = ω20, тогда

Маленькое изображение
 

Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами получено ранее. Поскольку m(ω20 — ω2) — действительное число, то фазовые углы F и х совпадают (или отличаются на 180°, если ω220). Об этом тоже уже говорилось. Модуль х, который определяет размах колебаний, связан с модулем F множителем 1/m(ω20 — ω2); этот множитель становится очень большим, если ω приближается к ω0. Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную частоту со (если с нужной частотой толкать подвешенный на веревочке маятник, то он поднимается очень высоко).




Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.