На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Тензор деформации

Маленькое изображениеВ предыдущей главе мы говорили о возмущениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформации в большом куске желе, скрученном и сжатом каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сделать, задав в ней набор шести чисел — компонент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.
 
Предположим, что мы взяли недеформированный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятнышка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положение r=(х, у, z), передвигается в новую точку Р′, т. е. в положение r=(х, у, z), как это показано на фиг. 39.1. Мы будем обозначать через u вектор перемещения из точки Р в точку Р, т. е.

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеПеремещение u зависит, конечно, от точки Р, из которой оно выходит так, что и есть векторная функция от r или от (х, у, z).
 
Сначала рассмотрим простейший случай, когда деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформацей. Предположим, например, что мы взяли балку из какого-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направлении, скажем в направлении оси х (фиг. 39.2). Перемещение их пятнышка с координатой х пропорционально самому х. Действительно,

Маленькое изображение
 

Мы будем записывать uх следующим образом:

Маленькое изображение
 

Разумеется, константа пропорциональности ехх— это то же, что наше старое отношение Δl/l. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)
 
Если же деформация неоднородна, то связь между х и их в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим ехх как своего рода локальную величину Δl/l, т. е.

Маленькое изображение
 

Это число, которое теперь будет функцией х, у и z, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей у и z. Мы будем описывать их величинами

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеКроме того, нам нужно описать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3). При такой деформации перемещение в направлении х каждой частицы пропорционально ее координате у:

Маленькое изображение
 

а перемещение в направлении у пропорционально х:

Маленькое изображение
 

Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью

Маленькое изображение
 

Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины exy, eyx следующим образом:

Маленькое изображение
 

Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемещения их и иу имеют вид

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеОни напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при uy, стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол θ/2 (фиг. 39.4). Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное положение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если диy /дх и дих/ду равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив

Маленькое изображение
 

Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, еху = еyx  .
 
В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:

Маленькое изображение
 

Они  образуют  компоненты  тензора  деформации.   Поскольку тензор этот симметричен  (согласно нашему  определению, еxy    всегда равно еyx ), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если А и В — векторы, то C¡j = AiBj— тензор.) А каждое наше е¡j есть произведение (или сумма таких произведений) компонент вектора u= (ux, uy, uzи  оператора V = (∂/x, /∂y, ∂/z),  который,  как
мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x1, x2 и x3, а вместе их, иу и uz писать и1 и2 и u3; тогда общий вид элемента тензора e¡j будет выглядеть так:

Маленькое изображение
 

где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.
 
Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все e¡j- — постоянные, и мы можем написать

Маленькое изображение
 

(Начало координат выбрано в точке, где u равно нулю.) В этих случаях тензор деформации eij дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты r = (х, у, z) и вектором перемещения u = х, иy , иz).
 
Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем

Маленькое изображение
 

описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором e¡j.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.