На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Изгибание балки

Маленькое изображениеРазберем теперь другой практический вопрос — изгибание балки, стержня или бруска. Чему равны силы, необходимые для изгибания балки произвольного поперечного сечения? Мы определим эти силы для балки круглого сечения, но ответ  будет  пригоден для балки любой формы. Чтобы сберечь время, мы кое-где упростим дело, так что теория, которую мы разовьем, будет только приближенной. Наши результаты верны лишь при том условии, что радиус изгибания много больше толщины балки.
 
Представьте, что вы ухватились за оба конца прямой балки и согнули ее в виде кривой, похожей на ту, что изображена на фиг. 38.11. Что же происходит внутри балки? Раз она искривлена, значит, материал на внутренней стороне сгиба сжат, а на внешней стороне растянут. Но имеется какая-то поверхность, более или менее параллельная оси балки, которая и не сжата, и не растянута. Называется она нейтральной поверхностью. По-видимому, эта поверхность проходит где-то «посредине» поперечного сечения. Можно показать (но я не буду этого здесь делать), что для небольшого изгиба простой балки нейтральная поверхность проходит через «центр тяжести» поперечного сечения. Но это справедливо только для «чистого» сгиба, т. е. когда балка не растягивается и не сжимается как целое.

Маленькое изображениеПри чистом сгибе тонкий поперечный отрезок балки возмущен (фиг. 38.12, а). Материал под нейтральной поверхностью испытывает деформацию сжатия, которая пропорциональна расстоянию от нейтральной поверхности, а материал над ней растянут тоже пропорционально расстоянию от нейтральной поверхности. Таким образом, продольное удлинение Δ/ пропорционально высоте у. Константа пропорциональности равна просто длине /, деленной на радиус кривизны балки (см. фиг. 38.12):

Маленькое изображение
 

Так что напряжение, т. е. сила, действующая на единичную площадь в некоторой маленькой полоске вблизи у, тоже пропорциональна расстоянию от нейтральной поверхности

Маленькое изображение
 

Теперь рассмотрим те силы, которые привели бы к подобной деформации. Силы, действующие на маленький отрезок, изображенный на фиг. 38.12, показаны на том же рисунке. Если мы возьмем любое поперечное сечение, то действующие на нем силы направлены в одну сторону выше нейтральной поверхности и в другую — ниже ее. Получается пара сил, которая создает «изгибающий момент» M, под которым мы понимаем момент силы относительно нейтральной линии. Интегрируя произведение силы на расстояние от нейтральной поверхности, можно вычислить полный момент на одной из граней отрезка фиг. 38.12:

Маленькое изображение
 

Согласно (38.34), dF =Y(y/R)dA, так что

Маленькое изображение
 

Но интеграл от у2можно назвать «моментом инерции» геометрического поперечного сечения относительно горизонтальной оси, проходящей через его «центр масс»; мы будем обозначать его через /, т. е.

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеУравнение (38.36) дает нам соотношение между изгибающим моментом M и кривизной балки 1/R. «Жесткость» балки пропорциональна Y и моменту инерции /. Другими словами, если вы хотите какую-то балку, скажем из алюминия, сделать как можно жестче, то вы должны как можно больше вещества поместить как можно дальше от оси, относительно которой берется момент инерции. Но этого нельзя доводить до предела, ибо тогда балка не будет искривляться так, как мы предположили: она согнется или скрутится и снова станет слабее. Вот почему каркасные балки делают в форме буквы I или Н (фиг. 38.13).

Маленькое изображениеВ качестве примера применения нашего уравнения (38.36) для балки вычислим отклонение консольной балки под действием сосредоточенной силы W, действующей на ее свободный конец (фиг. 38.14). (Консольная балка закреплена одним концом, который вмурован в стенку.) Какая же тогда будет форма балки? Обозначим отклонение на расстоянии х от закрепленного конца через z; мы хотим найти z(x). Будем вычислять только малые отклонения. Как вы знаете из курса математики, кривизна 1/R любой кривой z(x) задается выражением

Маленькое изображение
 

Нас интересуют только малые изгибы (обычная вещь в инженерных конструкциях), поэтому квадратом производной (dz/dx)2 можно пренебречь по сравнению с единицей и считать

Маленькое изображение
 

Нам нужно еще знать изгибающий момент M Он является функцией от х, так как в любом поперечном сечении он равен моменту относительно нейтральной оси. Весом самой балки пренебрежем и будем учитывать только силу W, действующую вниз на свободный ее конец. (Если хотите, можете сами учесть ее вес.) При этом изгибающий момент на расстоянии х равен

Маленькое изображение
 

ибо это и есть момент сил относительно точки х, с которым действует груз W, т. е. груз, который должен поддерживать балку. Получаем

Маленькое изображение
 

Это уравнение можно проинтегрировать без всяких фокусов и получить

Маленькое изображение
 

воспользовавшись предварительно нашим предположением, что z (0) = 0 и что dz/dx в точке х = 0 тоже равно нулю. Это и есть граничные условия. А отклонение конца будет

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениет. е. отклонение возрастает пропорционально кубу длины балки. При выводе нашей приближенной теории мы предполагали, что при изгибании поперечное сечение бруска не изменяется. Когда толщина бруска мала по сравнению с радиусом кривизны, поперечное сечение изменяется очень мало и все отлично. Однако в общем случае этим эффектом пренебречь нельзя — согните пальцами канцелярскую резинку и вы сами убедитесь в этом. Если первоначально поперечное сечение было прямоугольным, то, согнув резинку, вы увидите, как она выпирает у основания (фиг. 38.15). Это получается потому, что, согласно отношению Пуассона, при сжатии основания материал «раздается» вбок. Резинку очень легко согнуть или растянуть, но она несколько напоминает жидкость в том отношении, что изменить ее объем очень трудно. Это и сказывается при сгибании резинки. Для несжимаемых материалов отношение Пуассона было бы точно равно 1/2, для резинки же оно близко к этому числу.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.