На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Отраженная и преломленная волны

Теперь мы готовы применить наши граничные условия к волнам, перечисленным в § 2, где мы получили:

Маленькое изображение
 

Нами получены еще кое-какие сведения: вектор Е перпендикулярен для каждой волны вектору распространения k.
 
Полученный результат будет зависеть от направления вектора Е («поляризации») в падающей волне. Анализ сильно упростится, если мы рассмотрим отдельно случай, когда вектор Е параллелен «плоскости падения» (т. е. плоскости ху), и случай, когда он перпендикулярен к ней. Волна с любой другой поляризацией будет просто линейной комбинацией этих волн. Другими словами, отраженные и преломленные интенсивности для различных поляризаций будут разными и легче всего отобрать два простейших случая и отдельно рассмотреть их.
 
Я подробно проанализирую случай падающей волны, перпендикулярной к плоскости падения, а потом просто опишу вам, что получается в других случаях. Я немного жульничаю, рассматривая простейший пример, однако в обоих случаях принцип один и тот же. Итак, мы считаем, что вектор Е¡ имеет только z-компоненту, а поскольку все векторы Е смотрят в одном и том же направлении, векторный значок можно опустить.

Маленькое изображениеОба материала изотропны, поэтому вынужденные колебания зарядов в материале будут происходить в направлении оси z и у полей Е в преломленной и отраженной волнах тоже будет только одна z-компонента. Таким образом, для всех волн Ех и Еy , Рх и Рy равны нулю. Направления векторов Е и В в этих волнах показаны на фиг. 33.6. (Здесь мы изменили нашему первоначальному намерению все получить из уравнений. Этот результат также можно было бы получить из граничных условий, однако, используя физические аргументы, мы избежали больших алгебраических выкладок. Когда у вас будет свободное время, посмотрите, можно ли его действительно вывести из уравнений. Он, разумеется, согласуется с уравнениями; просто мы не доказали, что отсутствуют другие возможности.)
 
Теперь   наши   граничные    условия [уравнения   (33.26) — (33.31)] должны дать соотношения между компонентами Е и В в областях 1 и 2.  В области 2 у нас есть только одна преломленная волна, а вот в области 1 — их две. Какую же из них нам взять? Поля в области 1 будут, разумеется, суперпозицией полей падающей и отраженной волн. (Поскольку каждое удовлетворяет уравнениям Максвелла, то им удовлетворяет и сумма.) Поэтому, когда мы используем граничные условия, нужно помнить, что

Маленькое изображение
 

и аналогично для В.
 
Для поляризаций, которыми мы сейчас занимаемся, уравнения (33.26) и (33.28) не дают никакой новой информации, и только уравнение (33.27) поможет нам. Оно говорит, что на границе, т. е. при х=0:

Маленькое изображение
 

Таким образом, мы получаем уравнение

Маленькое изображение
 

которое должно выполняться для любого t и любого у. Возьмем сначала y=0. Для этого значения уравнение (33.38) превращается в

Маленькое изображение
 

согласно которому два осциллирующих члена равны третьему. Это может произойти, только когда частоты всех осцилляции одинаковы. (Невозможно, сложив три или какое-то другое число подобных членов с различными частотами, получить для любого момента времени в результате нуль.) Итак,

Маленькое изображение
 

как это и было нам всегда известно, т. е. частоты преломленной и отраженной волн те же самые, что и падающей.
 
Если бы мы предположили это с самого начала, то несомненно избежали бы многих трудностей, но мне хотелось показать вам, что тот же самый результат можно получить и из уравнений. А вот когда перед вами будет стоять реальная задача, лучше всего пускать в оборот сразу все, что вы знаете. Это избавит вас от лишних хлопот.
 
По определению абсолютная величина k задается равенством k2=n2ω22, поэтому

Маленькое изображение
 

А теперь обратимся к уравнению (33.38) для t=0. Используя снова те же рассуждения, что и прежде, но на сей раз основываясь на том, что уравнения должны быть справедливы при всех значениях у, мы получаем

Маленькое изображение
 

Из формулы (33.40) к′2 = к2, так что

Маленькое изображение
 

Комбинируя это с  (33.41), находим

Маленькое изображение
 

или k′х= ±kх. Знак плюс не имеет никакого смысла; он не дает нам никакой отраженной волны, а лишь другую падающую волну, и с самого начала мы говорили, что будем решать задачу с единственной падающей волной, так что

Маленькое изображение
 

Два соотношения (33.41) и (33.42) говорят нам, что угол отражения равен углу падения, как это и ожидалось (см. фиг. 33.3). Итак, в отраженной волне

Маленькое изображение
 

Для преломленной волны мы уже получали

Маленькое изображение
 

Их можно решить и в результате получить

Маленькое изображение
 

Предположим на мгновение, что n1 и n2 — вещественные числа (т. е. что мнимая часть показателей очень мала). Тогда все k тоже будут вещественными и из фиг. 33.3 мы видим, что

Маленькое изображение
 

т. е. уже известный нам закон Снелла для преломления. Если же показатель преломления не вещественный, то волновые числа оказываются комплексными и нам следует воспользоваться (33.45). [Конечно, мы могли бы определить углы θ¡ и θt из (33.46), и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующими комплексными величинами   kx  или  kх.]
 
До сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех ω и k, мы можем сократить экспоненциальный множитель в (33.38) и получить

Маленькое изображение
 

Но поскольку мы не знаем ни Е0, ни Е0, то необходимо еще одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Ех и Еy не помогут, ибо все Е имеют только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):

Маленькое изображение
 

Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.
 
Можно было бы обратиться к (33.30) Bz2= Bz1, но у вектора В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие — (33.31) Вy2y1 Для наших трех волн

Маленькое изображение
 

Подставляя вместо E¡ Er и Et волновые выражения при х=0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее граничное условие:

Маленькое изображение
 

Учитывая  равенство всех ω и kу, снова приходим к условию

Маленькое изображение
 

Это дает нам уравнение для величилы Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно Е0 и E″0. Вспоминая,что k′x= –k, получаем

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеВместе с (33.45) или (33.46) для k″х эти формулы дают нам все, что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.
 
Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллельным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как х-, так и y-компоненту. Вся алгебра при этом будет менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное поле, которое целиком направлено по оси z.) При этом мы найдем

Маленькое изображение
 

Давайте посмотрим, будет ли наш результат согласовываться с тем, что мы получали раньше. Выражение (33.3) мы вывели в вып. 3, когда находили отношение интенсивностей отраженной и падающей волн. Однако тогда мы рассматривали только вещественный показатель преломления. Для вещественного показателя (или вещественных k) можно записать:

Маленькое изображение
 

Подставляя это в уравнение (33.51), получаем

Маленькое изображение
 

что нисколько не похоже на уравнение (33.3). Если, однако, мы воспользуемся законом Снелла и избавимся от всех n, то сходство будет восстановлено. Подставляя n2=n1(sinθ¡/sinθt) и умножая числитель и знаменатель на sinθt, получаем

Маленькое изображение
 

Обратите внимание, что в числителе и знаменателе стоят просто синусы (θ¡ –θt) и (θ¡ t), поэтому

Маленькое изображение
 

Поскольку амплитуды Е′0 и Е0 измеряются в том же самом материале, интенсивности пропорциональны квадратам электрических полей и мы получаем тот же результат, что и раньше. Подобным же образом формула (33.53) тоже аналогична формуле (33.4).
 
Для волн, падающих перпендикулярно, θ¡=0 и θt=0. Формула (33.56) выглядит как 0/0, от чего нам пользы мало. Однако мы можем вернуться назад к формуле (33.55), согласно которой

Маленькое изображение
 

Этот результат, естественно, применим для «любой» поляризации, поскольку для перпендикулярного луча нет никакой особой «плоскости падения».



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.