На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Четырехмерный тензор электромагнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном пространстве-времени: это был тензор электромагнитного поля Fμv . Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, правда, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Лоренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «пространстве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)
 
В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть другой тензор в четырех измерениях (t, х,у, z) теории относительности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то определяли S¡j как компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «Sxy — это х-компонента силы, действующей на единичную площадку, перпендикулярную оси у», мы с равным правом могли бы сказать: Sxy — это скорость потока x-компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами, каждый член S¡j представляет поток ¡-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси j. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора Sμv в четырехмерном пространстве и v=t, x, у, z), содержащего еще дополнительные компоненты Stx , Syt , Stt и т. п. Попытаемся теперь выяснить физический смысл этих дополнительных компонент.
 
Нам известно, что пространственные компоненты представляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «потоку» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространственным вектором — вектором плотности тока j. Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность текущего вещества. Например, j можно скомбинировать с плотностью заряда jt=ρ и получить четырехвектор jμ= (ρ, j), т. е. значок μ у вектора jμ принимает четыре значения: t, x, у, z. Это означает «плотность», «скорость потока в x-направлении», «скорость потока в y-направлении» и «скорость потока в z-направлении» скалярного заряда.
 
Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной компоненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе Sxx,Sxy и Sxz, описывающими поток х-компоненты импульса, должна быть и временная компонента Sxt, которая по идее должна бы описывать плотность того, что течет, т. е. Sxt должна быть плотностью x-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него t-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:

Маленькое изображение
 

Аналогичная вещь происходит и с y-компонентой; у нас есть три компоненты потока: Syx , Syy и Syz , к которым нужно добавить четвертый член:

Маленькое изображение
 

В четырехмерном пространстве у импульса существует также и t-компонента, которой, как мы знаем, является энергия. Так что тензор Sij следует продолжить по вертикали с включением в него Stx, Sty и Stz, причем

Маленькое изображение
 

т. е. Stxэто поток энергии в единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина Stt, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса Sμv. Индекс μ может принимать четыре значения: t, х, у и z, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единичную площадь в направлении оси у» и «поток через единичную площадь в направлении оси z». Значок v тоже принимает четыре значения: t, x, у, z, которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», «x-компонента импульса», «y-компонента импульса» или же «z-компонента импульса».
 
В качестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете, что поток энергии электромагнитного поля описывается вектором Пойнтинга S=ε0c2E xB. Так что х-, у- и z-компоненты вектора S с релятивистской точки зрения являются компонентами Stx, Sty  и Stz нашего тензора энергии-импульса. Симметрия тензора S¡j переносится и на временные компоненты, так что четырехмерный тензор Sμv   тоже симметричен:

Маленькое изображение
 

Другими словами, компоненты Sxt , Syt , S zt , которые представляют плотности х-, у- и z-компонент импульса, равны также х-, у- и z-компонентам вектора Пойнтинга S, или, как мы видели раньше из других соображений, вектора потока энергии.
 
Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного напряжения Sμv тоже можно выразить через электрическое и магнитное поля Е и В. Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, потока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып. 6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы не входили в детали.
 
Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмерных тензорах, может понравиться выражение для тензора Sμv через поля:

Маленькое изображение
 

где суммирование по α и β проводится по всем их значениям (т. е. t, х, у и z), но, как обычно в теории относительности, для суммы ∑ и символа δ принимается специальное соглашение. В суммах слагаемые со значками х, у, z должны вычитаться, а δtt=+1, тогда как бxx = бууzz= –1 и δμv=0 для всех μ≠v (с=1). Сможете ли вы доказать, что эта формула приводит к плотности энергии Stt=(ε0/2)(E2+B2) и вектору Пойнтинга ε0Е хВ? Можете ли вы показать, что в электростатическом поле, когда В = 0, главная ось напряжения направлена по электрическому полю и вдоль направления поля возникает натяжение (ε0 /2)Е2 и равное ему давление в направлении, перпендикулярном направлению поля?



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.