На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Ссылки
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Сложение энергий

Перейдем теперь к более общему случаю и рассмотрим, что произойдет, если тел много. Предположим, что имеется несколько тел; пронумеруем их: i = 1, 2, 3, ... и пусть все они притягивают друг друга. Что тогда произойдет? Можно доказать, что если сложить кинетические энергии всех тел и добавить сюда сумму (по всем парам частиц) их взаимных потенциальных энергий тяготения —GMm/rij, то все вместе даст постоянную:

Маленькое изображение
 

Как же это доказать? Мы продифференцируем обе стороны по времени и докажем, что получится нуль. При дифференцировании 1/2 mivi2 мы получим производные скорости — силы [как в (13.5)], а потом эти силы заменим их величиной, известной нам из закона тяготения, и увидим в конце концов, что останется как раз производная по времени от

Маленькое изображение
 

Начинаем доказательство. Производная кинетической энергии по времени есть

Маленькое изображение
 

Производная по времени от потенциальной энергии есть

Маленькое изображение
 

потому что rij = -rji, хотя rij = rji. Итак,

Маленькое изображение
 

Теперь внимательно посмотрим, что значит ∑i{∑j} и ∑пары. В (13.15) ∑i{∑j} означает, что i принимает по порядку все значения i= 1, 2, 3,..., и для каждого i индекс j принимает все значения, кроме i. Если, например, i=3, то j принимает значения 1, 2, 4, ... .

С другой стороны, в (13.16) ∑пары означает, что каждая пара i и j встречается лишь однажды. Скажем, частицы 1 и 3 дают только один член в сумме. Чтобы отметить это, можно договориться, что i принимает значения 1, 2, 3, ..., а j для каждого i — только значения, большие чем i Если, скажем, i=3, тоj равно 4, 5, 6, ... . Но вспомним, что каждая пара i,j дает два слагаемых в сумме, одно с vi,-, а другое с vj, и что оба эти члена выглядят так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения i и j (кроме i=j)]. В уравнениях (13.16) и (13.15) член за членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут противоположны, так что производная по времени от суммы потенциальной и кинетической энергий действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинетическая энергия составляется из суммы энергий отдельных тел и что потенциальная энергия тоже состоит из взаимных потенциальных энергий пар частиц. Почему она складывается из энергий пар? Это можно уяснить себе следующим образом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Можно это сделать не за один раз, а постепенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влияли. Сперва мы приведем тело 1, на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела 2 потребует работы W12 = — Gm1m2/r12 И вот теперь самый существенный момент: мы доставляем тело 3 в точку 3. В любой момент сила, действующая на 3, слагается из двух частей: из силы, действующей со стороны 1, и силы со стороны 2. Значит, и вся произведенная работа равна сумме работ каждой из сил, потому что раз F3 разбивается на сумму сил
F3 = F13 + F23
то работа равна
∫F3·ds = ∫F13·ds + ∫F23·ds = W13 + W23

Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных против силы 1 и против силы 2, как если бы они действовали независимо. Продолжая рассуждать таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить, чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии. Именно из-за того, что тяготение подчиняется принципу наложения сил, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц.




Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.