Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 6 >> Глава 21. Решения уравнений Максвелла с токами и зарядами

Потенциалы заряда, движущегося с постоянной скоростью. Формула Лоренца

Применим теперь потенциалы Льенара — Вихерта к случаю заряда, движущегося по прямой с постоянной скоростью, и вычислим поле этого заряда. Позже мы повторим этот вывод, используя уже принцип относительности. Мы знаем величину потенциалов в той системе, в которой заряд покоится. Когда заряд движется, то все получается простым релятивистским преобразованием от одной системы к другой. Но теория относительности ведет свое начало от теории электричества и магнетизма. Формулы преобразований Лоренца [см. гл. 15 (вып. 2)] — это открытия, сделанные Лоренцем при исследовании уравнений электричества и магнетизма. И для того чтобы вы понимали, откуда все пошло, я хочу показать вам, что уравнения Максвелла действительно приводят к преобразованиям Лоренца. Я начну с вычисления потенциала равномерно движущегося заряда прямо из электродинамики, из уравнений Максвелла. Мы уже показали, что уравнения Максвелла приводят к потенциалу, полученному в предыдущем параграфе. Стало быть, пользуясь этими потенциалами, мы используем тем самым теорию Максвелла.
 
Пусть имеется заряд, движущийся вдоль оси х со скоростью v (фиг. 21.8). Нас интересуют потенциалы в точке Р(х, у, z). Если t=0 — момент, в который заряд проходит через начало координат, то в момент t заряд окажется в точке x=vt, y=z=0. А нам нужно знать его положение с учетом запаздывания, т. е. положение в момент

где r′—расстояние от заряда до точки Р в этот запаздывающий момент. В это более раннее время t′ заряд был в x = vt′ так что

Чтобы найти r′ или t′, это уравнение надо сопоставить с (21.35). Исключим сперва r′, решив (21.35) относительно r′ и подставив в (21.36). Возвысив затем обе части в квадрат, получим

т. е. квадратное уравнение относительно t′. Раскрыв скобки и расположив члены по степеням t′, получим

Отсюда найдем

Чтобы получить r′, надо это t′ подставить в

Теперь  мы  уже можем найти φ  из выражения (21.33), имеющего вид

(ввиду того, что v постоянно).
 
Составляющая v в направлении r′ равна v(x — vt′)/r′, так что   v·r′ просто   равно v(x—vt′), а весь знаменатель равен

Подставляя (1—v²/c²)t′ из (21.37), получаем

Это уравнение становится более понятным, если переписать его в виде

Векторный потенциал А — это такое же выражение, но с добавочным множителем v/c²:

В выражении (21.39) со всей ясностью предстает перед вами начало преобразований Лоренца. Если бы заряд находился в начале координат в своей собственной системе покоя, то его потенциал имел бы вид

А мы смотрим на него из движущейся системы координат, и нам кажется, что координаты следует преобразовать с помощью Формул

Это обычное преобразование Лоренца. Лоренц вывел его тем же самым способом, каким пользовались и мы.
 
Но что можно сказать о добавочном множителе 1/√1–v²/с², который появился перед дробью в (21.39)? И кроме того, как появляется векторный потенциал А, если он в системе покоя частицы повсюду равен нулю? Мы вскоре покажем, что А и φ вместе составляют четырехвектор, подобно импульсу р и полной энергии U частицы. Добавка 1/√1–v²/с² в (21.39)—это тот самый множитель, который появляется всегда, когда преобразуют компоненты четырехвектора, так же как плотность заряда ρ преобразуется в ρ/√1–v²/с². Собственно из формул (21.4) и (21.5) почти очевидно, что А и φ суть компоненты одного четырехвектора, потому что в гл. 13 (вып. 5) уже было показано, что j и ρ — компоненты четырехвектора.
 
Позднее мы более подробно разберем относительность в электродинамике; здесь мы хотели только показать, как естественно уравнения Максвелла приводят к преобразованиям Лоренца. Поэтому не надо удивляться, узнав, что законы электричества и магнетизма уже вполне пригодны и для теории относительности Эйнштейна. Их не нужно даже как-то особо подгонять, как это приходилось делать с ньютоновой механикой.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: