Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 5 >> Глава 14. Магнитное поле в разных случаях

Векторный потенциал заданных токов

Раз В определяется токами, значит, и А тоже. Мы хотим теперь выразить А через токи. Начнем с нашего основного уравнения   (14.2):

откуда,  конечно, следует

Это уравнение для магнитостатики; оно похоже на уравнение

для электростатики.
 
Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала станет еще более похожим на уравнение для φ, если переписать vХ(vхА), используя векторное тождество [см. уравнение (2.58) стр. 44]

Поскольку  мы   выбрали   v·А = 0  (и  теперь  вы  видите, почему), уравнение (14.12) приобретает вид

Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения

и каждое из этих уравнений математически идентично уравнению

Все, что мы узнали о нахождении потенциала для известного ρ, можно использовать для нахождения каждой компоненты А, когда известно j!
 
В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения электростатики (14.17) имеет вид

Тогда мы немедленно получаем общее решение для А_х:

и аналогично для А_y и A_z. (Фиг. 14.2 напоминает вам о принятых нами обозначениях для г₁₂ и dV₂.) Мы можем объединить все три решения в векторной форме:

(Вы можете при желании проверить прямым дифференцированием компонент, что этот интеграл удовлетворяет v·А=0, поскольку v·j=0, а последнее, как мы видели, должно выполняться для постоянных  токов.)
 
Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля от постоянных токов. Принцип такой: x-компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока j, точно такая же, как электрический потенциал φ, который был бы создан плотностью зарядов ρ, равной j_х/с², и аналогично для у- и z-компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компонента А не связана таким же образом с «радиальной» компонентой j.) Итак, из вектора плотности тока j можно найти А, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую компоненту А, решая три воображаемые электростатические задачи для распределений заряда ρ₁= j_х/с², ρ₂= j_y/c² и ρ₃= j_z/с². Затем мы находим В, вычислив разные производные от А, входящие в vХА. Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же. Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал   в  нескольких  частных  случаях.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: