На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Дополнительно
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Энергия в электростатическом поле

Рассмотрим теперь другие способы подсчета электростатической энергии. Все они могут быть получены из основного соотношения (8.3) суммированием (по всем парам) взаимных энергий каждой пары зарядов. Прежде всего мы хотим написать выражение для энергии распределения зарядов. Как обычно, считаем, что каждый элемент объема dV содержит в себе элемент заряда ρdV. Тогда уравнение (8.3) запишется так:

Маленькое изображение
 

Обратите внимание на появление множителя 1/2. Он возник из-за того, что в двойном интеграле по dV1 и по dV2 каждая пара элементов заряда считалась дважды. (Не существует удобной записи интеграла, в которой каждая пара считалась бы только по одному разу.) Затем заметьте, что интеграл по dV2 в (8.27) — это просто потенциал в точке (1), т. е.

Маленькое изображение
 

так что (8.27) можно записать в виде

Маленькое изображение
 

А так как точка (2) при этом выпала, то можно написать просто

Маленькое изображение
 

Это уравнение можно истолковать так. Потенциальная энергия заряда ρdV равна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому равна интегралу от φρdV. Но, кроме этого, есть множитель 1/2. Он все еще необходим, потому что энергии считаются дважды. Взаимная энергия двух зарядов равна заряду одного из них на потенциал другого в этой точке. Или заряду другого на потенциал от первого во второй точке. Так что для двух точечных зарядов можно написать

Маленькое изображение
 

Обратите внимание, что это же можно написать и так:

Маленькое изображение
 

Интеграл в (8.28) отвечает сложению обоих слагаемых в скобках выражения (8.29). Вот зачем нужен множитель 1/2.
Интересен и такой вопрос: где размещается электростатическая энергия? Правда, можно в ответ спросить: а не все ли равно? Есть ли смысл у такого вопроса? Если имеется пара взаимодействующих зарядов, то их сочетание обладает некоторой энергией. Неужели нужно непременно уточнять, что энергия сосредоточена на этом заряде, или на том, или на обоих сразу, или между ними? Все эти вопросы лишены смысла, потому что мы знаем, что на самом деле сохраняется только полная, суммарная энергия. Представление о том, что энергия сосредоточена где-то, не так уж необходимо.
Ну а все же предположим, что в том, что энергия всегда сосредоточена в каком-то определенном месте (подобно тепловой энергии), действительно смысл есть. Тогда мы могли бы наш принцип сохранения энергии расширить, соединив его с идеей о том, что если в каком-то объеме энергия меняется, то это изменение можно учесть, наблюдая приток или отток энергии из объема. Вы ведь понимаете, что наше первоначальное утверждение о сохранении энергии по-прежнему будет превосходно выполняться, если какая-то энергия пропадет в одном месте и возникнет где-то далеко в другом, а в промежутке между этими местами ничего не случится (ничего — это значит не случится каких-либо явлений особого рода). Поэтому мы можем перейти теперь к расширению наших идей о сохранении энергии. Назовем это расширение принципом локального (местного) сохранения энергии. Такой принцип провозглашал бы, что энергия внутри любого данного объема изменяется лишь на количество, равное притоку (или убыли) энергии в объем (или из него). И действительно, такое локальное сохранение энергии вполне возможно. Если это так, то в нашем распоряжении будет куда более детальный закон, чем простое утверждение о сохранении полной энергии. И, как оказывается, в природе энергия действительно сохраняется локально, в каждом месте порознь, и можно написать формулы, показывающие, где энергия сосредоточена и как она перетекает с места на место.
Имеется и физический резон в требовании, чтобы мы были в состоянии указать, где именно заключена энергия. По теории тяготения всякая масса есть источник гравитационного притяжения. А по закону Е=mc2 мы также знаем, что масса и энергия вполне равноценны друг другу. Стало быть, всякая энергия является источником силы тяготения. И если б мы не могли узнать, где находится энергия, мы бы не могли знать, где расположена масса. Мы не могли бы сказать, где размещаются источники поля тяготения. И теория тяготения стала бы неполной.
Конечно, если мы ограничимся электростатикой, то способа узнать, где сосредоточена энергия, у нас нет. Но полная система максвелловских уравнений электродинамики снабдит нас несравненно более полной информацией (хотя и тогда, строго говоря, ответ до конца определенным не станет). Подробнее мы этот вопрос рассмотрим позже. А сейчас приведем лишь результат, касающийся частного случая электростатики. Энергия заключена в том пространстве, где имеется электрическое поле. Это, видимо, вполне разумно, потому что известно, что, ускоряясь, заряды излучают электрические поля. И когда свет или радиоволны распространяются от точки к точке, они переносят с собой свою энергию. Но в этих волнах нет зарядов. Так что энергию хотелось бы размещать там, где есть электромагнитное поле, а не там, где есть заряды, создающие это поле. Таким образом, мы описываем энергию не на языке зарядов, а на языке создаваемых ими полей. Действительно, мы можем показать, что уравнение (8.28) численно совпадает с

Маленькое изображение
 

Эту формулу можно толковать, говоря, что в том месте пространства, где присутствует электрическое поле, сосредоточена и энергия; плотность ее (количество энергии в единице объема) равна

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеЭта идея иллюстрируется фиг. 8.8.
 
Чтобы показать, что уравнение (8.30) согласуется с нашими законами электростатики, начнем с того, что введем в уравнение (8.28) соотношение между ρ и φ, полученное в гл. 6:

Маленькое изображение
 

Получим

Маленькое изображение
 

Расписав покомпонентно подынтегральное выражение, мы увидим, что

Маленькое изображение
 

А наш интеграл энергий тогда равен

Маленькое изображение
 

С помощью теоремы Гаусса второй интеграл можно превратить в интеграл по поверхности:

Маленькое изображение
 

Этот интеграл мы подсчитаем для того случая, когда поверхность простирается до бесконечности (так что интеграл по объему обращается в интеграл по всему пространству), а все заряды расположены на конечном расстоянии друг от друга. Проще всего это сделать, взяв поверхность сферы огромного радиуса с центром в начале координат. Мы знаем, что вдали от всех зарядов φ изменяется как 1/R, а vφ как 1/R2. (И даже быстрее, если суммарный заряд нуль.) Площадь же поверхности большой сферы растет только как R2, так что интеграл по поверхности убывает по мере возрастания радиуса сферы как (1/R)(1/R2)R2 = (1/R). Итак, если наше интегрирование захватит собой все пространство (R→∞), то поверхностный интеграл обратится в нуль, и мы обнаружим

Маленькое изображение
 

Мы видим, что существует возможность представить энергию произвольного распределения зарядов в виде интеграла от плотности энергии, сосредоточенной в поле.



СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2024
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.