Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 1 >> Глава 8. Движение

Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ε и х было придумано специальное обозначение: ε обозначается как Δt, а х — как Δs. Величина Δt означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок Δ ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sin Θ не означает sin*Θ. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок Δ напоминает нам о его особом характере. Ну, а если Δ не множитель, то его нельзя сократить в отношении Δs/Δt. Это все равно, что в выражении sinΘ/sin2Θ сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Δs/Δt при Δt, стремящемся к нулю, т. е.

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Δs = vΔt. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Δt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Δt достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds =vdt, где под dt подразумевают интервал времени Δt при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Δt достаточно велик, то скорость на это время может измениться и выражение Δs = vΔt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t², или просто производную от 5t². Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s=At³ + Bt + C, которое может описывать движение точки. Буквы А, В, С, так же как ив обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t + Δt, причем к s прибавится некоторая добавка Δs, и найдем, как выражается Δs через Δt. Поскольку
s + Δs = A (t + Δt)³ + В (t + Δt) +C = At³ +Bt + C + 3At²Δt + BΔt + 3At (Δt)² + A (Δt)³,
а   s = At³ + Bt + C,
то   Δs = 3At²Δt+BΔt + 3At(Δt)² + A(Δt)³.
Но нам нужна не сама величина Δs, а отношение Δs/Δt. После деления на Δt получим выражение
Δs/Δt = 3At² + B + 3At(Δt) + A(Δt)³,
которое после устремления Δt к нулю превратится в
ds/dt = 3At² + B.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (Δt)² или (Δt)³ или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем Δt устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: