Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 4 >> Глава 48. Биения

Волны в пространстве трех измерений

Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими общими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, призванные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься и будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волнами. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измерении:

здесь с — скорость того, что мы назвали волнами. Если речь идет о звуке, то это скорость звука, если о свете — то это скорость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но избыточное давление, как и избыточная плотность, тоже распространяется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению. Так оно и есть на самом деле, однако докажите это самостоятельно. Указание: р„ пропорционально скорости изменения χ с расстоянием х. Следовательно, продифференцировав волновое уравнение по х, мы немедленно обнаружим, что дχ/дх удовлетворяет тому же самому уравнению. Другими словами, р_а удовлетворяет тому же самому уравнению. Но Р_и пропорционально ρ_u, поэтому и Р_u удовлетворяет тому же самому уравнению. Таким образом, и давление, и перемещение — все описывается одним и тем же уравнением.
 
Обычно волновое уравнение для звука записывается через давление, а не через перемещение. Это проще, потому что давление — скаляр и не имеет никакого направления. Но перемещение есть вектор, и поэтому лучше иметь дело с давлением.
 
Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, относится к волновому уравнению в трехмерном пространстве. Мы знаем, что звуковая волна в одномерном пространстве описывается решением ехр[i (ωt—kx)], где ω=kc_s. Кроме того, нам известно, что в трех измерениях волна описывается выражением exp[i(ωt — k_xx — k_yy —k_zz)], и в этом случае ω² = k²с_s² [сокращенная запись (к²_x+к²_y+к²_z)с²_s]. Сейчас мы хотим просто угадать вид волнового уравнения в трехмерном пространстве. Естественно, что в случае звука это уравнение можно получить с помощью тех же самых динамических соображений, но уже в трехмерном пространстве. Однако мы не будем сейчас делать этого, а просто напишем ответ: уравнение для давления или перемещения (или чего-то другого) имеет вид

правильность этого уравнения может быть легко проверена подстановкой в него функции ехр[i(ωt—kr)]. Ясно, что при каждом дифференцировании по х происходит умножение на — ik_x. Если мы дифференцируем дважды, то это эквивалентно умножению на —k²_x, так что для такой волны первый член получится равным —k²_xР_u. Точно таким же образом второй член окажется равным —k²_yР_u, а третий — равным —k²_zР_u. С правой же стороны мы получим —ω²/c^2sР_u. Если мы вынесем за скобку Р_u и изменим знаки всех членов, то увидим, что между k и ω как раз получится желаемое соотношение.
 
Возвращаясь назад, мы должны прийти к основному уравнению, соответствующему дисперсионному соотношению (48.22) для квантовомеханической волны. Если φ — амплитуда нахождения частицы в момент t   в точке с координатами х, у и z, то основное уравнение квантовой механики для свободной частицы имеет вид

Прежде всего заметим, что релятивистский характер этого уравнения гарантируется появлением координат х, у, z и времени t в такой удачной комбинации, что она автоматически учитывает принцип относительности. Кроме того, это уравнение волновое. Если подставить в него плоскую волну, то как следствие мы получим равенство —k²+ω²/c²=m²c²/h², которое должно выполняться в квантовой механике. В этом волновом уравнении содержится еще одна фундаментальная вещь: любая суперпозиция волн также будет его решением. Таким образом, это уравнение опирается на всю квантовую механику и всю теорию относительности, которая уже обсуждалась нами до сих пор, по крайней мере когда мы имели дело с единственной частицей в пустом пространстве без всяких потенциалов и воздействующих на нее сил!

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: