Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 3 >> Глава 34. Релятивистские явления в излучении Четырехвектор (ω, k)
Соотношения (34.17) и (34.18) обладают весьма интересным свойством: новая частота ω′ линейно связана со старой частотой ω и старым волновым числом k, а новое волновое число представляется в виде комбинации старого волнового числа и частоты. Далее, волновое число есть скорость изменения фазы с расстоянием, а частота — скорость изменения фазы со временем, и сами соотношения обнаруживают глубокую аналогию с преобразованиями Лоренца для координаты и времени: если ω сопоставить с t, а k с х/с2, то новое ω′ сопоставляется с t′, a k′ — с координатой х′/с2. Иначе говоря, при преобразовании Лоренца ω и k изменяются так же, как t и х. Эти величины ω и k составляют так называемый четырехвектор. Четырехкомпонентная величина, преобразующаяся как время и координаты, и есть четырехвектор. Здесь все правильно, за исключением одного — четырехвектор имеет четыре компоненты, а у нас фигурируют только две! Как уже говорилось, ω и k подобны времени и одной координате пространства; для введения двух остальных координат надо изучить распространение света в трехмерном пространстве.
Пусть задана система координат х, у, z и волна движется в пространстве с волновым фронтом (фиг. 34.11). Длина волны есть λ, а направление распространения волны не совпадает ни с одной осью координат. Какой вид имеет формула движения для такой волны? Ответ очевиден: это cos (ωt–ks), где k =2π/λ, a s (расстояние вдоль направления движения волны) — проекция вектора положения на направление движения. Запишем это следующим образом: пусть r есть вектор точки в пространстве, тогда s есть r ·ek, где ek — единичный вектор в направлении движения волны. Иначе говоря, s равно r cos(r ·ek), проекции расстояния на направление движения. Следовательно, наша волна описывается формулой cos(ωt–kek·r).
Оказывается очень удобным ввести вектор k, называемый волновым вектором; величина его равна волновому числу 2π/λ, а направление совпадает с направлением распространения волны
Благодаря введению этого вектора волна приобретает вид cos(ωt—k·r), или cos (ωt—kхх—kуу—kzz). Выясним смысл проекций k, например kх. Очевидно, kх есть скорость изменения фазы в зависимости от координаты х. Фиг 34.11 подсказывает нам, что фаза меняется с ростом х так, как если бы вдоль х бежала волна, но соответствующая ей длина волны оказывается больше по величине. «Длина волны в направлении х» больше истинной на множитель, равный секансу угла α между осью х и направлением движения истинной волны:
Следовательно, скорость изменения фазы, обратно пропорциональная λх, в направлении х оказывается меньше на множитель cos α; но этот же множитель содержит и kх, равный модулю k, умноженному на косинус угла между k и осью х!
Итак, мы выяснили смысл волнового вектора, описывающего распространение волны в трехмерном пространстве. Четыре величины ω, kx, ky, kz преобразуются в теории относительности как четырехвектор, причем ω соответствует времени, а kx, ky, kz соответствуют х, у и z и компонентам четырехвектора.
Еще раньше, когда мы занимались теорией относительности (гл. 17), мы выяснили, что из четырехвекторов можно составить релятивистское штрихованное произведение. Взяв вектор положения хμ (где μ нумерует четыре компоненты — время и три пространственные) и волновой вектор kμ(где μ снова пробегает четыре значения), образуем штрихованное произведение хμ и kμ , записываемое в виде ∑′kμхμ. Это произведение есть инвариант, не зависящий от выбора системы координат. Согласно определению штрихованного произведения, можно записать ∑′kμхμ в следующем виде:
Поскольку kμ есть четырехвектор, то, как мы уже знаем, ∑′kμxμ есть инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Под знак косинуса в нашей формуле для плоской волны входит именно это произведение, и оно обязано быть инвариантом относительно преобразований Лоренца. У нас не может появиться формула, у которой под знаком косинуса стоит неинвариантная величина, потому что мы знаем, что значение фазы не зависит от выбора системы координат.
СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:
Социальные комментарии Cackle
|