Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 10 >> Задачи к томам I-IV

4. Кинетика. Теплота. Звук

К главе 39. Кинетическая теория газов

39.1. Можно показать, что при адиабатическом сжатии идеального газа выполняется соотношение PV^γ=const [см. формулу (39.14), вып. 4, стр. 13]. С другой стороны, при всех условиях PV/T=const. Используя эти данные, найдите связь между параметрами Р и Т или V и Т для случая адиабатического сжатия.

39.2. С помощью двухтактного насоса, который используется для накачивания велосипедных шин, можно достигнуть давления 3,5 кГ/см², начав накачку воздуха при нормальном атмосферном давлении [1 кГ/см² при 20° С (293° К)]. Какова температура (по шкале Цельсия) воздуха, выходящего из насоса, если для воздуха γ= 1,40? Потери тепла через стенки насоса пренебрежимо малы.

39.3. Гелий (газ) содержится в одной половине двух идентичных теплоизолированных сосудов, причем другая половина каждого из сосудов откачана до полного вакуума. Каждый сосуд разделен перегородкой, в которой имеется закрывающееся отверстие (см. рисунок).  Ставятся два опыта:
   а)  Отверстие в  перегородке одного сосуда открывается, и газ перетекает в другую половину сосуда,   пока   не   установится   равновесие.   Затем перегородку  начинают  медленно  передвигать  к одному из краев сосуда.
   б)  Перегородку другого сосуда очень медленно двигают по направлению к вакуумированному краю до  упора. Сравните  количественно конечное состояние газа в этих двух сосудах (трением при передвиганий   перегородки   можно   пренебречь).

39.4. а) Представьте себе высокую вертикальную колонку, наполненную газом или жидкостью, плотность которых изменяется с высотой. Покажите, что в этом случае зависимость давления от высоты описывается дифференциальным уравнением dP/dh=–ρ(h)g.
   б) Решите это уравнение для случая атмосферного воздуха (молекулярный вес μ), если его температура  не зависит от высоты.

39.5. Адиабатической называется атмосфера, в которой давление и плотность в зависимости от высоты удовлетворяют   соотношению   Pρ^–γ=const.
   а)  Покажите,   что   температура   такой   атмосферы линейно   уменьшается   с   высотой,   и   найдите коэффициент   пропорциональности.   Такой   температурный градиент называется адиабатическим. Найдите   температурный   градиент   для   земной атмосферы.
   б)  Используя   аргументы,   основанные   на   энергетических соображениях, покажите, что атмосфера с температурным градиентом, меньшим или большим адиабатического, будет соответственно стабильной   или   нестабильной   относительно   конвекции.

39.6. Цилиндр с непроницаемой абсолютно гладкой перегородкой содержит 1 м³ газа при давлении 1 атм. Газ медленно сжимается при постоянной температуре до конечного объема 0,4 м³. Какая работа затрачивается при этом?

39.7. Два газа, А и В, занимающие один и тот же начальный объем V₀, при одинаковом начальном давлении Р₀ внезапно подвергаются адиабатическому сжатию, каждый — до половины своего первоначального объема. Каково конечное давление в каждом газе по сравнению с начальным, если γ_А= ⁵/₃ (одноатомный газ), γ_B = ⁷/₅(двухатомный)?

39.8. Найти отношение количеств работы, необходимой для сжатия газов А и В, рассмотренных в задаче 39.7.

39.9. Две сферы объемом 200 и 100 см³ соединены короткой, трубкой (см. рисунок), в которой имеется изолирующая пористая перегородка. С ее помощью можно добиться равенства давлений в сосудах, но не температуры. Система находится при t=27° С и содержит кислород под давлением 760 мм рт. ст. Малая сфера помещается в сосуд со льдом при 0° С, а большая — в сосуд с паром при 100° С. Какое давление установится в системе? Тепловым расширением сфер   пренебречь.

39.10.Резервуар на 50 л соединен с резервуаром на 15 л с  помощью  короткой  трубки,   в  которой   имеется специальный клапан давления, позволяющий  газу просачиваться   из  большого  резервуара  в  малый, если давление  в  большом  превышает давление  в меньшем на 88 см рт. ст. При   t=17° С больший резервуар содержит газ при атмосферном давлении, а меньший — полностью вакуумирован. Каково будет  давление   в   последнем,   если   оба   резервуара нагреть до 162° С?
 
39.11.При   комнатной   температуре   четырехокись   азота частично диссоциирует в двуокись азота:

В вакуумированный сосуд объемом 250 см³ вводится 0,90 г жидкого N₂O₄ при 0° С. Когда температура в сосуде увеличивается до 27° С, жидкость испаряется, а давление становится равным 960 мм рт. ст. Сколько процентов четырехокиси азота при этом диссоциирует?

39.12. Вначале 1 моль идеального одноатомного газа находится в изолированном сосуде с подвижной крышкой, занимая объем V₁ при давлении Р₁ и температуре T₁=27°С. Затем он медленно нагревается с помощью помещенного внутрь нагревателя, на что полностью тратится энергия 8,31 вт-ч. В результате газ расширяется при постоянном давлении Р₁ нагреваясь до температуры T₂ и занимая конечный объем V₂. Вычислите работу, проделанную газом при расширении, и запас энергии газа, а также найдите: а) Т₂, б) V₂ /V₁.


К главе 40. Принципы   статистической   механики

40.1. В радиометре молекулы газа бомбардируют тонкие легкие крылышки вертушки, которые с одной стороны зачернены, а с другой — покрыты блестящей краской. Когда на крылышки попадает излучение, поглощенная ими при этом энергия уносится в основном молекулами, бомбардирующими зачерненную сторону каждого крылышка. В результате возникает результирующая несбалансированная сила, которая поворачивает вертушку. Рассмотрим сосуд, в котором имеется n молекул массы т в единице объема, при абсолютной температуре Т. Тонкое крылышко единичной площади, расположенное внутри такого сосуда, поглощает радиационную энергию со скоростью π вт, причем эта энергия уносится (изотропно) молекулами, попадающими только на одну сторону крылышка. Оцените примерно силу, действующую на крылышко в воздухе   при   комнатной  температуре.

40.2. Какая доля молекул газа (газ находится в тепловом равновесии), достигающих в единицу времени поверхности сосуда, обладает кинетической энергией:
   а)  большей, чем средняя тепловая,
   б)  в 3 раза большей, чем средняя тепловая?


40.3. Молярная теплоемкость вещества при постоянном объеме C_v— это количество энергии, необходимое для повышения температуры 1 моля вещества на 1°, если объем остается постоянным. Чему равна молярная   теплоемкость   при   постоянном   объеме:
   а)  идеального одноатомного газа?
   б)  идеального двухатомного  газа?

40.4. Газ при нормальных давлении и температуре втекает со скоростью v через гладкую трубку с постоянным поперечным сечением площадью А. Когда газ проходит через проволочную сетку, оказывающую пренебрежимо малое сопротивление потоку, он нагревается. Приобретаемая мощность равна q вm. Из трубки газ вытекает со скоростью v′. Напишите уравнения, выражающие законы сохранения массы, энергии и импульса для случая, когда через трубку протекает воздух,  а затем найдите:
   а)  v′,
   б)  конечную температуру   Т,
   в)  напор  F (основная  характеристика реактивного двигателя).

40.5. Обсудите достоинства воздушного реактивного двигателя в свете предыдущей задачи, если при его работе затрачивается 100 кг воздуха и 2,00 кг керосина в секунду. Теплотворная способность керосина составляет около 4,65·10⁷ дж/кг. Какие обстоятельства могут сделать неправильным полученный вами результат?

40.6. Закон распределения Максвелла имеет вид

Он может быть преобразован так: у=х²е^–x
   а)   Нарисуйте график этой функции для 0≤x≤3,00 и покажите, что при увеличении х главную роль играет экспоненциальный член.
   б)  Найдите максимальное значение у.

40.7. При   атмосферном   давлении   закон   n=n₀e^–mgh/kT; величина kT/mg=RT/ug  определяет собой так называемую   шкалу   высоты   (и — молекулярный   вес).Рассчитайте шкалу высоты для земной атмосферы и околосолнечного пространства, если

К главе 41. Броуновское движение

41.1. Рассчитайте  (и  запомните):
   а)  температуру Т, при которой kT= 1 эв;
   б)  величину kT (в эв) при комнатной температуре;
   в)  длину   волны   фотона,   соответствующей   квантовому  переходу  с разностью  энергий   1   эв.

41.2. Закон распределения излучения абсолютно черного тела имеет вид

Перейдя к новой переменной x=hω/kT, покажите, что:
   а)  проинтегрированная   по   всем   частотам   полная интенсивность излучения  пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры;
   б)  частота ω_m, при которой /(ω) имеет максимальное значение, пропорциональна абсолютной температуре.

41.3. Найдите относительные интенсивности света с длиной волны 0,31 мк, излучаемого двумя абсолютно черными телами, которые находятся при температуре 2000  и  4000° К соответственно.
 
К главе 42. Применения кинетической теории

42.1. Энергия   активации,   теплота   испарения,   теплоты образования или диссоциации и т. д. обычно выражаются в джоулях на 1 г-моль или в электрон-вольтах на 1 атом. Сколько дж/г-моль содержится в 1 эв/атом? (Химики обычно используют энергетическую единицу, называемую килокалорией; 1 ккал=4186 дж.)

42.2. а) Постройте график плотности паров ртути в зависимости от 1/T в полулогарифмической шкале (соответствующие данные возьмите из учебников физики и химии). С помощью графика определите теплоту испарения ртути. Сравните ваши результаты с табличной величиной,
   б) Проделайте то же самое для воды.

42.3. В температурном интервале 0—300° С теплота возгонки ртути изменяется только на 3% (в средней это составляет около 0,61 эв/атом). Какую ошибку вы сделаете при расчете плотности паров ртути при 0° С, если используете теплоту возгонки при 300° С вместо правильного значения при 0° С?
Замечание. Незначительное в процентном отношении отличие в показателе экспоненты может привести к большой ошибке.

42.4. Сопротивление почти чистого кремния в зависимости от температуры показано на прилагаемом графике. Сделайте качественный  вывод о  природе  прямого тока в этом веществе выше и ниже 300° С.

К главе 48. Диффузия

43.1. «Диаметр» молекулы кислорода приблизительно равен d=3 Å. Вычислите среднюю длину свободного пробега и среднее время между двумя столкновениями для молекул кислорода при нормальных давлении   и  температуре.

43.2. Сосуд содержит 10²⁴ молекул газа, средняя длина свободного пробега одной молекулы равна l. Для какой длины пробега L вероятность того, что хоть какая-нибудь из молекул пройдет в сосуде без столкновения   путь,   превышающий  L,   меньше   50%?

43.3. Если в веществе существует температурный градиент, то происходит перенос тепла, причем количество переносимой энергии в единицу времени пропорционально этому градиенту (без учета конвекции). Коэффициент пропорциональности, приведенный к единице площади и к единице температурного градиента, называется теплопроводностью К. Таким образом, dE/dt=KA(dt/dx). Покажите, что в отсутствие конвекции теплопроводность газа равна

Примечание. Интерпретируйте теплопроводность как перенос внутренней (тепловой) энергии U через плоскость внутри вещества, как это было сделано при рассмотрении процесса диффузии.

43.4. Когда в жидкости существует градиент скорости, причем скорость зависит от расстояния в направлении, перпендикулярном потоку, то в результате возникает тормозящий движение фактор, называемый вязкостью. В газе его появление обусловлено переносом импульса. Через каждую плоскость импульс   переносится   молекулами,   находящимися по обе стороны от нее на расстоянии, не превышающем длину свободного пробега. Если поток движется в направлении оси х и существует градиент скорости v_x в направлении оси у, то сила вязкости, отнесенная к единице площади плоскости, перпендикулярной оси у, равна F/A=ηdv_x/dy. Покажите, что для газа коэффициент вязкости η приближенно равен

где n — концентрация молекул; т — масса молекулы;   / — длина   свободного   пробега;   σ=n_оl.

43. 5. Отметим, что теплопроводность и вязкость газа не зависят от давления. Измените соответствующим образом формулу для количества энергии, переносимой между Двумя поверхностями, имеющими температуры Т и Т+ΔТ и находящимися на расстоянии D друг от друга, если l»D. Проделайте то же самое, рассматривая процесс переноса импульса между двумя такими поверхностями, движущимися со скоростями v и v+Δv.
 
43.6. Два газа А и В с плотностями ρ_А и ρ_B находятся при определенной температуре Т_о. Отдельный ион, за которым ведется наблюдение, обладает подвижностями μ_A в газе А и μ_B в газе В (μ=v_др/F, где F — сила, см. вып. 4, стр. 90). Какова подвижность иона в смеси этих газов с плотностью ρ_А+ ρ_B при той же температуре Т_о?


К главе 44. Законы термодинамики

44.1. Идеальный газ, имеющий γ=⁴/₃ последовательно переводится из состояния А (давление Р=1 атм, объем V=22,4 л, температура t=300° К) в состояние С (Р=2 атм, V=33,6 л) либо по пути ABC, либо по пути ADC.
   а) Покажите,   что   изменение   энтропии   в   обоих случаях  одинаково.
   б) Рассчитайте это изменение.

44.2. Переведите идеальный цикл Карно abcd на диаграмме р—V между состояниями, характеризующимися параметрами Т₁ и T₂ и (р_а, V_a), (р_с, V_c), в цикл ABCD на диаграмме энтропия — температура (см. фиг. 44.6 «Лекций», вып. 4, стр.  109).
 
44.3. Температура парогенератора на современной теплоэлектростанции, использующей перегретый пар, равна 600° С. В холодильник подается речная вода при t=20°С. Каков максимальный к. п. д., который может быть получен на такой станции?
 
44.4. В идеальном обратимом двигателе, в котором в качестве рабочего тела используется 28 г азота (γ=⁷/₅). рабочий цикл abcd происходит без использования золотника (см. фиг. 44.6 «Лекций», вып. 4, стр. 109). Температура нагревателя 400° К, холодильника 300° К. Начальный объем газа в точке а равен 6,0 л, а объем в точке с составляет 18,0 л.
   а)  При каком объеме V_b нужно прекратить подачу в  цилиндр  тепла   (изотермическое  расширение) и, теплоизолировав его,  начать адиабатическое расширение от V_b к V_c? При каком объеме V_d начнется адиабатическое сжатие?
   б)  Какое количество тепла поступает в систему на участке а→b цикла?
   в)  Какое количество тепла уходит из  системы на участке c→d?
   г)  Чему равен к. п. д. двигателя?
   д)  Чему равно изменение энтропии на 1 г рабочего вещества на участках а→b и c→d?
Примечание. Вы должны получить, что для цикла Карно в случае идеального газа отношения V_b/V_a и V_c/V_d равны.
 
44.5. Беззаботный экспериментатор, торопясь  уйти,  оставил золотник резервуара, наполненного гелием, неплотно закрытым. Газ, первоначально находившийся при давлении 200 атм, медленно изотермически выходит из резервуара при температуре 20° С. Чему равно изменение энтропии на 1 кг газа?


К главе 45. Примеры из термодинамики
 
45.1. Солнце излучает приблизительно как черное тело при температуре 5700° К. Если солнечным светом облучать абсолютно черную медную сферу, расположенную на расстоянии 1 А.Е. от Солнца, то какая равновесная температура будет достигнута при этом? (Диаметр Солнца виден с Земли под углом 0,50°.)
 
45.2. Солнечный свет падает перпендикулярно на некоторую область, находящуюся в Экваториальной Африке. Если поверхность излучает как абсолютно черное тело, то какова максимальная температура этой области? (Солнечная постоянная равна 1395 вт/м².)
 
45.3. Черное тело радиуса r при температуре Т окружено зачерненной с обеих сторон тонкой оболочкой радиуса R. Найдите, насколько такой радиационный экран уменьшает скорость охлаждения тела. (В пространстве между телом и оболочкой — вакуум, потерь, связанных с теплопроводностью, нет.)
 
45.4. Плотность в центре Солнца равна приблизительно 80 г/см³, а температура ~13·10⁶°К. Вещество Солнца почти целиком состоит из протонов и электронов. Найдите давление газа и радиационное давление в центре Солнца.
 
45.5. Скрытая теплота испарения воды равна приблизительно 2,44·10⁶ дж/м³, а плотность пара при 100° С составляет 0,598 кг/м³. Используя уравнение Клаузиуса — Клапейрона, найдите скорость изменения температуры кипения с высотой в град/км, принимая за начало отсчета уровень моря. Положите температуру  воздуха  равной  300° К.
 
45.6. Покажите, что для идеального газа, внутренняя энергия которого зависит только от температуры, разность между молярными теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме равна газовой   постоянной  R:
     С_р — C_v = R.
 
45.7. При 0° С удельный объем насыщенного водяного пара равен 206 м³/кг. Какова скрытая теплота испарения в дж/кг при этой температуре? (Определите dp/dt из таблиц, рассчитайте L и сравните с табличным значением.)
 
45.8. Тело поглощает фиксированную долю А полного излучения, падающего на его поверхность, и отражает остаток. Покажите, что при температуре Т оно излучает энергию АσТ⁴.
 
45.9. а) Используя термодинамические соображения, покажите, что если вещество при замерзании расширяется, то его температура замерзания должна уменьшаться с увеличением давления,
   б) Рассчитайте самую низкую температуру льда на катке, при которой катание на коньках еще возможно.


К главе 47. Звук. Волновое уравнение
 
47.1. Найдите отношение скоростей звука в гелии и водороде при одной и той же температуре.
 
47.2. В два свистка одинаковой длины вдуваются: воздух, охлажденный почти до температуры жидкого воздуха (—180° С), и теплый воздух. Один свисток издает звук ровно на октаву выше, чем другой (т. е. удвоенной частоты). Какова должна быть температура воздуха, вдуваемого во второй свисток?
 
47.3. Если вы вдохнете гелий и начнете разговаривать, то звук вашего голоса будет неестественно высоким. Если все ваши резонансные полости («пустоты в вашей голове») будут заполнены гелием, а не воздухом, то насколько увеличится каждая резонансная частота? Если вы при этом напеваете, то как повлияет наличие гелия на тональность, в которой вы   поете?  Обсудите.
 
47.4. Рассмотрим постоянную плоскую звуковую волну с частотой 1000 сек^–1, в которой экстремумы давления отличаются на ±1 дин/см² от среднего атмосферного давления   1·10⁶ дин/см².
   а)  Чему  равно  изменение  плотности,  сопровождающее распространение такой  волны?
   б)  Чему равно максимальное смещение x_т частиц?
   в)  Чему равна интенсивность волны?
(Примите   скорость   звука   равной   340   м/сек.)
 
47.5. Зажмите кончиками пальцев обеих рук резиновую полоску длиной около 5 см, а затем попросите товарища слегка щелкнуть по резине. Послышится звук. Потом растяните полоску в 2, 3, 4, 5 раз, не меняя массу полоски между руками, и повторите ту же процедуру. Обсудите результаты наблюдения. Почему ничего похожего не происходит со струной скрипки?
 
47.6. Однородная абсолютно гибкая струна линейной плотности σ кг/м растянута с натяжением Т. Сформулируйте волновое уравнение, описывающее поперечное смещение струны у, и найдите скорость распространения возмущения вдоль струны. Используйте предположение о том, что ду/дх«1 во всех точках в любой момент времени, и рассмотрите только плоские колебания струны. Отметим, что компонента натяжения струны в поперечном направлении очень близка к Т ду/дх.
 
47.7. Покажите, что выражение и=Ае^{¡(ωt -kx)}удовлетворяет волновому уравнению

при   условии,   что  ω  и  k связаны  соотношением ω=vk


К главе 48. Биения
 
48.1. Фазовая скорость волны с длиной волны λ, распространяющейся по водной поверхности, если пренебречь   поверхностным  натяжением и   конечной глубиной водоема, v_фаз=√gλ/2π. Покажите, что групповая скорость волны равна половине фазовой. Чему равна групповая и фазовая скорости волны длиной   1000 м?
 
48.2. Если в предыдущей задаче рассматривать влияние поверхностного натяжения, то можно показать, что фазовая скорость волны на поверхности жидкости с плотностью ρ и с поверхностным натяжением T равна v_фаз=(2πT/λρ+gλ/2π)^1/2 когда глубина водоема достаточно велика. Найдите групповую скорость такой волны.
 
48.3. Найдите фазовую скорость ряби с длиной волны 1,0 см на поверхности:
   а)  воды   (поверхностное   натяжение   70   дин/см);
   б)  этилового    спирта    (поверхностное    натяжение 26   дин/см).
 
48.4. Найдите длину волны и частоту ряби на поверхности воды, которая движется с минимальной скоростью.
 
48.5. Длинный дизельный товарный поезд идет в гору со скоростью 5,0 м/сек по прямому пути. Когда он достигает туннеля в отвесной скале, машинист дает длинный непрерывный гудок с основной частотой 340 гц. Звук гудка и его эхо, возникающее при отражении от стены, слышат машинист и человек, находящийся на земле вблизи последнего вагона. Какой частоты звук слышит каждый  из  них?


К главе 49. Собственные колебания

49.1. Два тела с массами т₁ и m₂ прикреплены к двум стенам пружинами, коэффициенты упругости которых k₁ и k₂ соответственно. Друг с другом они соединены пружиной с жесткостью k (см. рисунок).
Напишите уравнения движения этих тел, положив

49.2. Подставьте х=Ае^¡ωt и y=Be^¡ωt в полученные выше уравнения и найдите частоты и отношения амплитуд  грузиков для  нормальных  колебаний.
 
49.3. Покажите, что функция

а /, т, n — целые числа, большие или равные единице,
   а)  удовлетворяет  трехмерному   волновому   уравнению   (описывающему   волну  со  скоростью  распространения   v);
   б)  равна 0 при х=0, х=а, y=0, у=b. z=0, z=c;
   в)  осциллирует  во   времени   подобно  синусоиде.
 
49.4. Полагая, что в предыдущей задаче а : b : с=1 : 2 : 3, найдите 10 минимальных частот, выраженных через наименьшую частоту ω_о. Расположите их в порядке возрастания  и  отложите на  вертикальной  шкале.
 
49.5. Используя понятие о бесконечно длинных периодических волнах, распространяющихся в противоположных направлениях, выясните, что произойдет, если идеальная однородная натянутая струна длины L оттянута от средней точки на расстояние А, а затем отпущена. Нарисуйте несколько положений струны в различные моменты времени в течение одного полупериода  первой  гармоники.

К главе 50. Гармоники
 
50.1. Используя фурье-разложения прямоугольной волны

50.2. Разложите функцию

в интеграл Фурье и покажите, что полученные результаты согласуются с тем, что получается при интегрировании функции, использованной в предыдущей задаче.
 
50.3. Используя результат предыдущей задачи, покажите

50.4. В гл. 45 нам надо было вычислить интеграл

Теперь вы можете это сделать, умножив числитель и знаменатель на е^–х, разложив подынтегральную функцию в ряд и интегрируя почленно. Получим

Проверьте  это.
 
50.5. Найдите фурье-разложения пилообразной функции, которая описывает ток, протекающий в горизонтальной цепи развертки электронного осциллографа:

50.6. Выпрямитель есть устройство, которое преобразует синусоидальную волну, например напряжения с амплитудой   V₀,   в

   а)   Вычислите среднее значение V(t). Оно называется выходным напряжением.
   б)  Найдите амплитуду второй гармоники в выходном напряжении.
 
50.7. С трансформатора снимается выходное напряжение, пропорциональное V_вых=V_вх+ e(V_вх)³. Выясните, к каким эффектам приведет учет кубического члена, если:
   а)   входная  волна  синусоидальная;
   б)  имеются две или более входные синусоидальные волны с разными частотами.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: