На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Дополнительно
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Потенциальная энергия. Сохранение энергии

Маленькое изображениеА теперь мы хотели бы выяснить вопрос о том, что бывает, когда энергия частицы может меняться. Начнем с размышления о частице, которая движется в поле сил, описываемом потенциалом. Рассмотрим сперва влияние постоянного потенциала. Пусть у нас имеется большой металлический ящик, который мы зарядили до некоторого электростатического потенциала φ (фиг. 5.2). Если внутри яцика есть заряженные объекты, то их потенциальная энергия будет равна qφ; мы обозначим это число буквой V. Оно по условию совершенно не зависит от положения самого объекта. От наложения потенциала никаких физических изменений внутри ящика не произойдет, ведь постоянный потенциал ничего не меняет в том, что происходит внутри ящика. Значит, закон, по которому теперь будет меняться амплитуда, вывести никак нельзя. Можно только догадаться. Вот он, правильный ответ — он выглядит примерно так, как и следовало ожидать: вместо энергии нужно поставить сумму потенциальной энергии V и энергии Ер, которая сама есть сумма внутренней и кинетической энергий. Амплитуда тогда будет пропорциональна

Маленькое изображение
 

Общий принцип состоит в том, что коэффициент при t, который можно было бы назвать ω, всегда дается полной энергией системы: внутренней энергией («энергией массы») плюс кинетическая энергия плюс потенциальная энергия:

Маленькое изображение
 

Или в нерелятивистском случае

Маленькое изображение
 

Ну, а что можно сказать о физических явлениях внутри ящика? Если физическое состояние не одно, а несколько, то что мы получим? В амплитуду каждого состояния войдет один и  тот  же добавочный  множитель

Маленькое изображение
 

сверх того, что было при V=0. Это ничем не отличается от сдвига нуля нашей энергетической шкалы. Получится одинаковый сдвиг всех фаз всех амплитуд, а это, как мы раньше убедились, не меняет никаких вероятностей. Все физические явления остаются теми же. (Мы предположили, что речь идет о разных состояниях одного и того же заряженного объекта, так что qφ у них у всех одинаково. Если бы объект мог менять свой заряд, переходя от одного состояния к другому, то мы пришли бы к совершенно другому результату, но сохранение заряда предохраняет нас от  этого.)
 
До сих пор наше допущение согласовывалось с тем, чего следовало ожидать от простого изменения уровня отсчета энергии. Но если оно на самом деле справедливо, то обязано выполняться и для потенциальной энергии, которая не является просто постоянной. В общем случае V может меняться произвольным образом и во времени, и в пространстве, и окончательный  результат для амплитуды должен выражаться на языке дифференциальных уравнений. Но мы не хотим сразу приступать к общему случаю, а ограничимся некоторым представлением о том, что происходит. Так что пока мы рассмотрим только потенциал, который постоянен во времени и медленно меняется в пространстве. Тогда мы сможем сравнить между собой  классические и квантовые представления.

Маленькое изображениеПредположим, что мы размышляем о случае, изображенном на фиг. 5.3, где два ящика поддерживаются при постоянных потенциалах φ1 и φ2, а в области между ними потенциал плавно меняется от φ1 к φ2. Вообразим, что у некоторой частицы есть амплитуда оказаться в одной из этих областей. Допустим также, что импульс достаточно велик, так что в любой малой области, в которой помещается много длин волн, потенциал почти постоянен. Тогда мы вправе считать, что в любой части пространства амплитуда обязана выглядеть так, как (5.18), только V в каждой части пространства будет свое.
 
Рассмотрим частный случай, когда φ1=0, так что потенциальная энергия в первом ящике равна нулю, во втором же пусть qφ2 будет отрицательно, так что классически частица в нем будет обладать большей кинетической энергией. В классическом смысле она во втором ящике будет двигаться быстрее, у нее будет, стало быть, и больший импульс. Посмотрим, как это может получиться из квантовой механики.
 
При наших предположениях амплитуда в первом ящике должна  была  быть пропорциональна

Маленькое изображение
 

а во втором

Маленькое изображение
 

(Будем считать, что внутренняя энергия не изменяется, а остается в обеих областях одной и той же.) Вопрос заключается в следующем: как эти две амплитуды сопрягаются друг с другом в области между ящиками?
 
Мы будем считать, что все потенциалы во времени постоянны, так что в условиях ничего не меняется. Затем мы предположим, что изменения амплитуды (т. е. ее фазы) всюду обладают одной и той же частотой, потому что в «среде» между ящиками нет, так сказать, ничего, что бы зависело от времени. Если в пространстве ничего не меняется, то можно считать, что волна в одной области «генерирует» во всем пространстве вспомогательные волны, которые все колеблются с одинаковой частотой и, подобно световым волнам, проходящим через покоящееся вещество, не меняют своей частоты. Если частоты в (5.21) и (5.22) одинаковы, то должно выполняться равенство

Маленькое изображение
 

Здесь по обе стороны стоят просто классические полные энергии, так что (5.23) есть утверждение о сохранении энергии. Иными словами, классическое утверждение о сохранении энергии вполне равноценно квантовомеханическому утверждению о том, что частоты у частицы всюду одинаковы, если условия во времени не меняются. Все это согласуется с представлением о  том,  что  = E.
 
В том частном случае, когда V1= 0, a V2 отрицательно, (5.23) означает, что р2 больше р1, т. е. в области 2 волны короче. Поверхности равной фазы показаны на фиг. 5.3 пунктиром. Там еще вычерчен график вещественной части амплитуды, из которого тоже видно, как уменьшается длина волны при переходе от области 1 в область 2. Групповая скорость волн, равная р/М, тоже возрастает так, как и следовало ожидать из классического сохранения энергии, потому что оно просто совпадает  с  (5.23).
 
Существует интересный частный случай, когда V2 становится столь большим, что V2–V1 уже превышает р12/2М. Тогда p22, даваемое формулой

Маленькое изображение
 

становится отрицательным. А это значит, что р2— мнимое число, скажем ip′  Классически мы бы сказали, что частица никогда не попадет в область 2, ей не хнатит энергии, чтобы взобраться на потенциальный холм. Однако в квантовой механике амплитуда ло-прежнему представляется уравнением (5.22); ее изменения в пространстве по-прежнему следуют закону

Маленькое изображение
 

Но раз р2— мнимое число, то пространственная зависимость превращается в вещественную экспоненту. Если, скажем, частица сперва двигалась в направлении +х, то амплитуда начнет меняться, как

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеС ростом х она быстро падает.
 
Вообразим, что обе области с разными потенциалами расположены очень тесно друг к другу, так что потенциальная анергия внезапно изменяется от V1 к V, (фиг. 5.4, а). Начертив график вещественной части амплитуды вероятности, мы получим зависимость, показанную на фиг. 5.4, б. Волна в области 1 отвечает частице, пытающейся попасть в область 2, но там амплитуда быстро спадает. Имеется какой-то шанс, что ее заметят в области 2, где классически она ни за что бы не оказалась, но амплитуда этого очень мала (кроме места близ самой границы). Положение вещей очень похоже на то, что мы обнаружили для полного внутреннего отражения света. Обычно свет не выходит, но его можно все же заметить, если поставить что-нибудь на расстоянии в одну-две длины волны от поверхности.

Маленькое изображениеВспомните, что если поместить вторую поверхность вплотную к границе, где свет полностью отражался, то можно добиться того, чтобы во втором куске вещества все же распространялся какой-то свет. То же самое происходит и с частицами в квантовой механике. Если имеется узкая область с таким высоким потенциалом V, что классическая кинетическая энергия там отрицательна, то частица никогда не пройдет сквозь нее. Но в квантовой механике экспоненциально убывающая амплитуда может пробиться сквозь эту область и дать слабую вероятность того, что частицу обнаружат по другую сторону — там, где кинетическая энергия опять положительна. Все это изображено на фиг. 5.5. Эффект называется квантовомеханическим  «проникновением  сквозь  барьер».

Маленькое изображениеПроникновение квантовомеханической амплитуды сквозь барьер дает объяснение (или описание) α-распада ядра урана. Кривая зависимости потенциальной энергии α-частицы от расстояния от центра показана на фиг. 5.6, а. Если бы попытаться выстрелить α-частицей с энергией Е в ядро, то она почувствовала бы электростатическое отталкивание от ядерного заряда z и по классическим канонам не подошла бы к ядру ближе, чем на такое расстояние r1, при котором ее полная энергия сравняется с потенциальной V. Но где-то внутри ядра потенциальная энергия окажется намного ниже из-за сильного притяжения короткодействующих ядерных сил. Как же тогда объяснить, отчего при радиоактивном распаде мы обнаруживаем α-частицы, которые, первоначально находясь внутри ядра, окапываются затем снаружи него с энергией Е? Потому что они с самого начала обладая энергией Е, «просочились»сквозь потенциальный барьер. Схематичный набросок амплитуды вероятности дан на фиг. 5.6, б, хотя на самом деле экспоненциальный спад много сильнее, чем показано. Весьма примечательно, что среднее время жизни α-частицы в ядре урана достигает 4 1/2 миллиарда лет, тогда как естественные колебания внутри ядра чрезвычайно быстры, их в секунду бывает 1022! Как же можно из 10-22 сек получить число порядка 109 лет? Ответ состоит в том, что экспонента дает неслыханно малый множитель порядка 10-45. что и приводит к очень малой, хоть и вполне определенной, вероятности просачивания. Если уж α-частица попала в ядро, то почти нет никакой амплитуды обнаружить ее не в ядре; если, однако, взять таких ядер побольше и подождать подольше, то вам, может быть, повезет и вы увидите,   как частица выскочит  наружу.



СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2024
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.