Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 8 >> Глава 4. Спин одна вторая

Повороты на 180° и на 90° вокруг оси у

Теперь попробуем подобрать преобразование для поворота Т (по отношению к S) на 180° вокруг оси, перпендикулярной к оси z, скажем вокруг оси у. (Оси координат мы определили на фиг. 4.1.) Иными словами, берутся два одинаковых прибора Штерна — Герлаха и второй из них, Т, переворачивается относительно первого, S, «вверх ногами» (фиг. 4.6). Если рассматривать частицы как маленькие магнитные диполи, то частица, которая находится в состоянии (+S) (в первом приборе она избирает «верхний» путь), и во втором приборе избирает «верхний» путь, т. е. окажется по отношению к Т в минус-состоянии. (В перевернутом приборе Т переворачиваются и поле, и направление его градиента; для частицы с заданным направлением магнитного момента сила не меняется.) То, что для S было «верхом», то для Т будет «низом». Для такого относительного расположения S и Т преобразования, естественно, должны дать

Как и раньше, нельзя исключить добавочные фазовые множители; на самом деле может оказаться, что

где β и γ еще подлежат определению.
 
А что можно сказать о повороте вокруг оси у на угол 360°? Мы уже знаем ответ для поворота на 360° вокруг оси z: амплитуда пребывания в любом состоянии меняет знак. Повороты на 360° вокруг любой оси всегда приводят прибор в прежнее положение. Таким образом, результат любого поворота на 360° должен быть таким же, как и при повороте на 360° вокруг оси z,—все амплитуды должны просто переменить знак. Теперь представим себе два последовательных поворота на 180° вокруг оси у по формуле (4.20); после них должен получиться результат (4.18). Иными словами,

Следовательно,   γ =–β + π,  и  преобразование  для поворота на 180° вокруг оси у может быть записано так:

Рассуждения, которыми мы только что пользовались, в равной степени применимы к поворотам на 180° вокруг любой оси в плоскости ху, хотя, конечно, повороты вокруг разных осей дадут для β разные числа. Но это единственное, чем они могут отличаться. В числе β имеется известный произвол, но, как только оно определено для какой-то одной оси в плоскости ху, оно определяется и для всех прочих осей. Принято выбирать β=0 для поворотов на 180° вокруг оси у.
 
Чтобы показать, что свобода такого выбора у нас есть, предположим, что мы решили, что β не равно нулю для поворота вокруг оси у; тогда можно показать, что в плоскости ху существует какая-то другая ось, для которой соответствующая фаза будет нулем. Найдем фазовый множитель β_A для оси А, образующей с осью у угол α, как показано на фиг. 4.7, а. (Для удобства на рисунке угол α отрицателен, но это неважно.) Если теперь мы возьмем прибор Т, первоначально направленный так же, как и S, а потом повернем его вокруг оси А на 180°, то его оси — назовем их х″, у″, z″— расположатся так, как на фиг. 4,7, а. Амплитуды по отношению к Т тогда станут

Но той же самой ориентации можно добиться двумя последовательными поворотами, показанными на фиг. 4.7, б и в. Возьмем сначала прибор U, повернутый по отношению к S на 180° вокруг оси у. Оси х′, у′ и z′ прибора U будут такими, как на фиг. 4.7, б, а амплитуды по отношению к U будут даваться формулой  (4.22).

Заметьте теперь, что от U к Т можно перейти, повернув прибор U вокруг «оси z», т. е. вокруг z′, как показано на фиг. 4.7, в. Из рисунка видно, что требуемый угол вдвое больше угла α, но направлен в обратную сторону (по отношению к z′). Используя преобразование (4.19) с φ=—2α, получаем

Подставляя (4.22) в (4.24), получаем

Эти амплитуды, конечно, должны совпасть с полученными в (4.23). Значит, β_A должно быть связано с α и β формулой

Это означает, что если угол α между осью.А и осью у (прибоpa S) равен β, то в преобразовании поворота на 180° вокруг оси А  будет стоять β_A=0.
 
Но коль скоро у какой-то из осей, перпендикулярных к оси z, может оказаться β=0, то ничто не мешает принять эту ось за ось у. Это всего лишь вопрос соглашения, и мы примем это в общем случае. Итог: для поворота на 180° вокруг оси у мы имеем

Продолжая размышлять о поворотах вокруг оси у, перейдем теперь к матрице преобразования для поворотов на 90°. Мы в состоянии установить ее вид, оттого что знаем, что два последовательных поворота на 90° вокруг одной и той же оси — это то же самое, что один поворот на 180°. Напишем преобразование для 90° в самой общей форме:

Второй поворот на 90° вокруг той же оси обладал бы теми же коэффициентами:

Подставляя (4.28) в (4.29), получаем

Однако из (4.27) нам известно, что

так что должно быть

Этих четырех уравнений вполне хватает, чтобы определить все наши неизвестные а, b, с и d. Сделать это нетрудно. Посмотрите на второе и четвертое уравнения. Вы видите, что a²=d², откуда либо a=d, либо a=–d. Но последнее отпадает, потому что тогда не выполнялось бы первое уравнение. Значит, d=a. А тогда сразу же выходит b=1/2a и c=–1/2а. Теперь все выражено через а. Подставляя,  скажем,  во второе уравнение значения b и с, получаем

Из четырех решений этого уравнения только два приводят к детерминанту стандартной формы. Мы можем принять а=1/√2;тогда

Иными словами, для двух приборов S и Т при условии, что Т повернут относительно S на 90° вокруг оси у, преобразование имеет вид

Эти уравнения можно, конечно, разрешить относительно С₊ и С_; это даст нам преобразование при повороте вокруг оси у на —90°. Переставив еще и штрихи, мы напишем

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: