Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 7 >> Глава 31. Тензоры

Эллипсоид энергии

Потренируемся теперь в обращении с тензорами. Рассмотрим такой интересный вопрос: какая энергия требуется для поляризации кристалла (в дополнение к энергии электрического поля, которая, как известно, равна ε₀Е²/2 на единицу объема)? Представьте на минуту атомные заряды, которые должны быть перемещены. Работа, требуемая для перемещения одного такого заряда на расстояние dx, равна qE_xdx, а если таких зарядов в единице объема содержится N штук, то для перемещения их требуется работа qE_xNdx. Но qNdx равно изменению дипольного момента единицы объема dP_x. Так что работа, затраченная на единицу объема, равна

Складывая теперь работы всех трех компонент, найдем, какой должна быть работа в единице объема:

Но поскольку величина Р пропорциональна Е, то работа, затраченная на поляризацию единицы объема от 0 до Р, равна интегралу от E·dP. Обозначая ее через и_р , можно написать

Теперь можно воспользоваться уравнением (31.5) и выразить Р через Е. В результате получим

Плотность энергии и_р — величина, не зависящая от выбора осей, т. е. скаляр. Таким образом, тензор обладает тем свойством, что, будучи просуммирован по одному индексу (с вектором), он дает новый вектор, а будучи просуммирован по обоим индексам (с двумя векторами), дает скаляр.
 
Тензор α_¡j на самом деле нужно называть «тензором второго ранга», ибо у него два индекса. В этом смысле вектор, у которого всего один индекс, можно назвать «тензором первого ранга», а скаляр, у которого вообще нет индексов,— «тензором нулевого ранга». Итак, выходит, что электрическое поле Е будет тензором первого ранга, а плотность энергии и_р — тензором нулевого ранга. Эту идею можно распространить на тензоры с тремя и более индексами и определить тензоры, ранг которых выше двух.
 
Индексы нашего тензора поляризуемости могут принимать три различных значения, т. е. это трехмерный тензор. Математики рассматривают также тензоры размерности четыре, пять и больше. Кстати, четырехмерный тензор нам уже встречался при релятивистском описании электромагнитного поля (см. гл. 26, вып. 6) — это F_μv .
 
Тензор поляризуемости α_¡j обладает одним интересным свойством: он симметричен, т. е. α_xy = α_yx и т. п. для любой пары индексов. (Это свойство отражает физические качества реального кристалла, и вовсе не обязательно у любого тензора.) Вы можете самостоятельно доказать это, подсчитав изменения энергии кристалла по следующей схеме:
   1)   включите электрическое поле в направления оси х;
    2)   включите поле в направлении оси у;
    3)   выключите х-поле;
    4)   выключите y-поле.
 
Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, α_xy должно быть равно α_yx . Однако те же рассуждения можно провести и для α_xz и т. д. Таким образом, тензор поляризуемости симметричен.
 
Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сначала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7),

Если бы у нас была только одна компонента Е_х , мы могли бы определить α_xx, а с одной компонентой Е_y можно определить α_yy  . Включив обе компоненты Е_х и Е_y мы из-за присутствия члена (α_ху+α_yx) получим добавочную энергию, ну а поскольку α_ху и α_yx равны, то этот член превращается в 2α_ху и может быть вычислен из добавочной энергии.
 
Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геометрическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Е_х и Е_y отвечают данной плотности энергии, скажем и₀. Возникает чисто математическая задача решения уравнения

Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Е_х и Е_y , решением этого уравнения будут все точки эллипса (фиг. 31.2). (Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда положительна и конечна.) А само Е с компонентами Е_х и Е_y представляет вектор, идущий из начала координат до точки на эллипсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «увидеть» тензор поляризуемости.

Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляризуемости.
 
Заметьте теперь, что эллипсоид имеет очень интересное свойство — его всегда можно описать простым заданием направления трех «главных осей» и диаметров эллипсоида по этим осям. Такими «главными осями» являются направления наименьшего и наибольшего диаметра и направление, перпендикулярное к ним. На фиг. 31.3 они обозначены буквами а, b и с. По отношению к этим осям уравнение эллипсоида имеет особенно простую форму:

Итак, по отношению к главным осям у тензора поляризуемости останутся только три ненулевые компоненты α_аа, α_bb и α_сс. Другими словами, сколь бы ни был сложен кристалл, всегда можно выбрать оси так (они не обязательно будут осями самого кристалла), что у тензора поляризуемости останется только три компоненты. Уравнение (31.4) для таких осей становится особенно простым:

Иначе говоря, электрическое поле, направленное по любой одной из главных осей, дает поляризацию, направленную по той же оси, но, разумеется, для различных осей коэффициенты будут разными.
 
Тензор часто записывается в виде таблицы из девяти коэффициентов, взятых в скобки:

Для главных же осей a, b и с в таблице остаются только диагональные члены, поэтому мы говорим, что тензор становится «диагональным», т. е.

Самое важное здесь то, что к такой форме подходящим выбором осей координат можно привести любой тензор поляризуемости (фактически любой симметричный тензор второго ранга какого угодно числа измерений).
 
Если все три элемента тензора поляризуемости в диагональной форме равны друг другу, т. е. если

то эллипсоид энергии превращается в сферу, поляризуемость во всех направлениях становится одинаковой, а материал изотропным. В тензорных обозначениях

Тензор δ_¡j часто называют также «символом Кронекера». Для забавы вы можете доказать, что тензор (31.14) после замены одной прямоугольной системы координат на другую будет иметь в точности ту же самую форму. Тензор поляризуемости тина (31.13) дает

т. е. получается наш старый результат для изотропного диэлектрика:

Форму и ориентацию эллипсоида поляризуемости иногда можно связать со свойствами симметрии кристалла. В гл. 30 мы уже говорили, что трехмерная решетка имеет 230 различных возможных внутренних симметрии и что для многих целей их удобно разбить на 7 классов в соответствии с формой элементарной ячейки. Эллипсоид поляризуемости должен отражать геометрию внутренней симметрии кристалла. Например, триклинный кристалл имеет самую низкую симметрию; у него все три оси эллипсоида разные и направления их, вообще говоря, не совпадают с направлением осей кристалла. Более симметричный моноклинный кристалл обладает той особенностью, что его свойства не меняются при повороте кристалла на 180° относительно одной оси, поэтому тензор поляризуемости при таком повороте должен остаться тем же самым. Отсюда следует, что эллипсоид поляризуемости при повороте на 180° должен переходить сам в себя. Но такое может случиться только, когда одна из осей эллипсоида совпадет с направлением оси симметрии кристалла. В других же отношениях ориентация и размеры эллипсоида могут быть какими угодно.
 
Оси эллипсоида ромбического кристалла должны совпадать с кристаллическими осями, так как вращение такого кристалла на 180° вокруг любой оси повторяет ту же кристаллическую решетку. Если же взять тетрагональный кристалл, то эллипсоид тоже должен повторять его симметрию, т. е. два из его диаметров должны быть равны между собой. Наконец, для кубического кристалла равными должны быть все три диаметра эллипсоида — он превращается в сферу и поляризуемость кристалла одинакова во всех направлениях.
 
Существует очень серьезная игра, состоящая в выяснении всех возможных свойств тензоров для всех возможных симметрии кристалла. Она мудрено называется «теоретико-групповым анализом». Однако для простых случаев тензора поляризуемости увидеть, какова должна быть эта связь, относительно легко.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: