Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 2 >> Глава 20. Вращение в пространстве

Моменты сил в трехмерном пространстве

В этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий законов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Однако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных случаев.

Прежде всего хочу отметить, что для вращения в трех измерениях твердого тела или какого-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря, xF_y—yF_x так и остается моментом силы «в плоскости ху», или моментом силы «относительно оси z». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения величины хр_у—ур_х; если вы вспомните вывод уравнения (18.15; из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обстоятельства, что движение плоское, и просто дифференцировали величину хр_у—ур_х и получали xF_y—yF_x, так что эта теорема остается верной. Величину хр_у—ур_х мы называли моментом количества движения в плоскости ху, или моментом количества движения относительно оси z. Кроме плоскости ху, можно использовать другие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем,например, плоскость yz.Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим у вместо х, a z вместо у, то для момента силы получим выражение yF_z—zF_y и yp_z—zp_y будет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость zx и получить для нее
zF_x - xF_z = d/dt (zp_x - xp_z).
Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как хр_у—ур_х, для многих частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выражений для трех плоскостей: ху, yz и zx, а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плоскостях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.

Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказывается, что если мы в комбинации x`F<sub>y`</sub>—y`F<sub>x`</sub>- для «косой» плоскости выразим величины x`, F<sub>y`</sub> и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях ху, yz и zx. В этом нет ничего нового. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях ху, yz и zx, то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комбинации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и займемся.

Пусть Джо для своих координатных осей х, у, z определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси х`, у`, z` по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси х и у. Мик выбрал другие оси х` и у`, а его ось z осталась той же самой. Это означает, что плоскости yz и zx у него новые, а поэтому моменты сил и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в плоскости х`у` окажется равным x`F<sub>y`</sub>—y`F_x и т. д. Следующая задача — найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее вполне можно решить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же напоминает то, что мы делали с векторами»,— скажете вы. Действительно, я собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» - спросите вы. Действителъно, он — вектор, однако этого нельзя сказать просто так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как это все работает. Моменты сил, вычисленные Джо, равны

В этом месте мы сделаем отступление и заметим, что в подобных случаях, если оси координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак. Почему бы не написать τ_yz—zF_y—yF_z? Этот вопрос связан с тем обстоятельством, что система координат может быть либо «левая», либо «правая». Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у τ_ху, можно всегда определить правильное выражение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем:

Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе

Пусть одна система координат повернута на угол θ по отношению к другой, так что ось z осталась той же самой. (Угол θ ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то происходящим внутри системы координат. Это просто связь между осями, используемыми одним человеком, и осями, используемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоянным.) При этом координаты в двух системах связаны так:

Точно таким же образом, поскольку сила является вектором, она преобразуется в новой системе координат так же, как х, у и z. Просто, по определению, объект называется вектором тогда и только тогда, когда различные его компоненты преобразуются как х, у и z

Теперь можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2) нужно просто подставить вместо х`, у` и z` выражение (20.3), а для F<sub>x`</sub>, F_{y`</sub> и F<sub>z`} — выражение (20.4). В результате для τ_x`y` получается длинный ряд членов, но оказывается (и на первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к выражению xF_y—yF_x, которое, как известно, является моментом силы в плоскости ху:

Результат совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости ху, при этом момент относительно оси z в этой плоскости не отличается от прежнего: ведь плоскость-то осталась той же самой! Более интересно выражение для τ_y`z`. Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью. Если теперь повторить то же самое с плоскостью y`z`, то получим

Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно запомнить это правило? Если внимательно посмотреть на уравнения (20.5)—(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для х, у и z существует тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать τ_ху z-компонентой чего-то, скажем z-компонентой вектора т, то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора τ, ибо z-компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость yz с х-компононтой новоиспеченного вектора, а плоскость zx с у-компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так:

что в точности соответствует закону преобразования векторов.

Мы, следовательно, доказали, что комбинацию xF_y—yF_x можно отождествить с тем, что обычно называется z-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе кручения. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.

Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Согласно правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Однако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределенный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси z. Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат xyz правосторонняя; тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кручением, определяется поступательным движением болта.

Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство — особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент — самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трехмерном пространстве он — вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) дополнительно к трем плоскостям ху, yz и zx появятся также плоскости tx, ty и tz. Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного вектора невозможно.

Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих математических рассмотрениях совершенно не существенно то, что х — координата, a F — сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты х подставим x-компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить ве^ личину а_хb_у—а_уb_х, где а и b — векторы, и назвать ее г-компо-нентой некоторой новой величины с_z, то эта величина будет вектором с. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора с с векторами а и b придумать какое-то математическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначением: c=a × b. Таким образом, в дополнение к обычному скалярному произведению в векторном анализе мы получили произведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись c=a × b это то же самое, что

Если переменить порядок векторов а и Ь, т. е. вместо a × b взять b × а, то знак вектора с при этом изменится, ибо сг равно b_ха_у—b_уа_х. Векторное произведение поэтому не похоже на обычное умножение, для которого ab=ba. Для векторного произведения b x a = —a × b. Отсюда немедленно следует, что если а=Ь, то векторное произведение равно нулю, т. е. а × а=0.

Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов а, Ь и с. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить следующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор с перпендикулярен как к вектору а, так и к вектору Ь. (Попробуйте вычислить a·b и вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора с оказывается равной произведению абсолютных величин векторов Ь и а, умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор с? Вообразите, что мы доворачиваем вектор а до вектора b в направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с правовинтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении вектора с. То, что мы берем правоовинтовой болт, а не левовинтовой,— простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов а и b вектор нового типа a X b по своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов а и Ь, кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами. Примерами таких векторов служат координата r, сила F, импульс р, скорость v, электрическое поле Е и т. д. Все это обычные полярные векторы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, могут служить момент силы t и момент импульса L. Кроме того, оказывается, что угловая скорость ω, как и магнитное поле В, тоже псевдовектор.

Чтобы расширить наши сведения о математических свойствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпишем все правила с участием векторного произведения. Впоследствии мы будем ими пользоваться. Эти правила таковы:

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: