Больцмана статистика

Больцмана статистика, статистический метод описания физических свойств систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц, движущихся по законам классической механики (т. е. свойств классического идеального газа). Создана австрийским физиком Л. Больцманом в 1868—71. 

В Больцмана статистике рассматривается распределение частиц идеального газа по импульсам и координатам, но не в фазовом пространстве всех частиц, как в статистической механике Гиббса (см. Гиббса распределение), а в фазовом пространстве координат и импульсов одной частицы (для газа одинаковых невзаимодействующих частиц функцию распределения можно представить в виде произведения ‘одночастичных’ функций распределения). Согласно Больцмана статистике, фазовое пространство разбивается на множество малых ячеек объёмом G_i, причём каждая ячейка должна содержать достаточно большое число частиц N_i (с энергией Ε_i). Фиксированное распределение частиц по этим ячейкам определяет микроскопическое состояние газа. Макроскопическое состояние газа полностью характеризуется набором чисел N_i. Значение G_i соответствует максимально возможному числу микроскопических состояний в ячейке i. Для подсчёта числа возможных способов осуществления данного макроскопического состояния объём ячейки фазового пространства должен быть фиксирован (в этом случае совокупность микроскопических состояний — счётное множество). До создания квантовой механики единица фазового объёма выбиралась произвольно. С открытием квантовомеханических неопределённостей соотношения выяснилось, что единица объёма фазового пространства, имеющего шесть измерений (три координаты и три проекции импульса частицы), нельзя выбрать меньше h³. Таким образом, современная Больцмана статистика использует принципы квантовой механики, и получаемое на основе Больцмана статистики распределение частиц представляет собой частный случай квантовых статистик (когда из-за малой плотности газа можно пренебречь квантовыми эффектами). 

В Больцмана статистике предполагается, что частицы распределяются по различным состояниям независимо друг от друга и что они различимы между собой. Число различных возможных микроскопических состояний, соответствующих заданному макроскопическому состоянию газа, называется статистическим весом состояния. Статистический вес определяется числом различных способов, которыми можно распределить N=Σ_iN_i частиц по ячейкам размером G_i по N_i частиц в каждой ячейке, и равен:
Ω_B = N!П_iG_i^Ni/Ni!. (1)
Здесь перестановки частиц в пределах каждой ячейки рассматриваются как различные состояния. При подсчёте статистического веса Ω надо, однако, учитывать, что перестановки тождественных частиц не меняют состояния, и поэтому Ω_B следует уменьшить в N! раз, так что
Ω=П_i(G_i^Ni/Ni!). (2)
Это правило подсчёта состояний, основанное на квантовомеханическом принципе неразличимости тождественных частиц, лежит в основе современной Больцмана статистики. Только при таком определении статистического веса возможно определить энтропию S (в ед. k) как величину, пропорциональную логарифму статистического веса:
S≈lnΩ. (3)
Формула (3) была получена американским физиком Дж. Гиббсом ещё до создания квантовой механики. Он показал, что присутствие множителя N в (1) приводит к появлению в выражении для энтропии (3) слагаемого N InN, не имеющего физического смысла, т. к. энтропия должна быть пропорциональна N (аддитивна). Все микроскопические состояния, соответствующие данному макроскопич. состоянию, равновероятны, поэтому вероятность макроскопич. состояния пропорциональны статистическому весу Ω. В статистическом равновесии энтропия максимальна при заданных энергии и числе частиц, что соответствует наиболее вероятному распределению (Больцмана распределению) . Для получения распределения Больцмана в явном виде нужно найти абсолютный экстремум функции Σ_iN_iln(G_i/N_i)-βΣ_iЕ_iN_i-λΣ_iN_i (β и λ — множители, определяемые из условий постоянства числа частиц газа N=Σ_iN и его полной энергии Е=Σ_iЕ_iN_i) и воспользоваться формулой Стирлинга InN_i=N_i/(lnN_i-1) при N_i->1. Для средних чисел заполнения i-того состояния с энергией Е_i распределение Больцмана имеет вид:
n_i=N_i/G_i=ехр[(μ-E_i)/kT], (4)
где μ — химический потенциал, определяемый из условия Σ_iN_i=N. Больцмана статистика применима к разреженным молекулярным газам и к плазме в газовом разряде. Для плотных газов, когда существенно взаимодейстствие между частицами, следует пользоваться распределением Гиббса.